Анализ доходности и рискованности финансовых операций

4.1.Доходность и риск операции вероятностно характеризуемой

Финансовая операция называется рискованной, если она имеет хотя бы два исхода, неравноценных в системе предпочтений ЛПР (Лицо Принимающее Решения). Например, операция Q:(-2;10), означающая, что ЛПР может получить доход 10 или убыток -2, является рискованной. Операция H:(3;12) также является рискованной,

ибо даже получив доход 3, ЛПР будет недоволен - ведь мог бы получить 12 !

Однако количественно оценить риск возможно лишь если операция вероятностно

характеризуема, т.е. ее доход есть случайная величина (с.в.)- это предполагает возможность неоднократного повторения этой операции. Итак, пусть доход

от операции Q есть с.в., которую будем обозначать также как и саму операцию Q. Математическое ожидание M[Q] называют еще средним ожидаемым доходом,

а риск операции r отождествляют со средним квадратическим отклонением СКО,

т.е. квадратным корнем из дисперсии D[Q] . Задана с.в. дохода Q , находится

средний ожидаемый доход M[Q], дисперсия D[Q] и риск операции r. Вероятности

конкретных величин дохода - десятичные дроби с точкой вида 0.2 .

│ 33 │ 38 │ 42 │ 47 │ средний ожидаемый доход 41.40

Q: ├───────┼─────── дисперсия дохода 38.04

│ 0.3 │ 0.1 │ 0.1 │ 0.5 │ риск операции 6.17

Для уточнения распределения вероятностей можно провести пробную операцию.

После ее проведения вероятности могут стать совершенно иными и средний ожидаемый доход может значительно увеличиться. Если решение принимается по максимуму среднего ожидаемого дохода, то прибавка среднего ожидаемого дохода и есть максимальная стоимость пробной операции, при которой она еще оправдана

Найдём эту стоимость.

Первоначальные вероятности и характеристики операции

│ 33 │38 │ 42 │ 47 │ средний ожидаемый доход 41.40

Q: ├───────┼───────┼ дисперсия дохода 38.04

│ 0.30 │0.10│ 0.10 │0.50│ риск операции 6.17

Вероятности и характеристики операции после пробной операции

33 38 42 47 средний ожидаемый доход 45.60

Q: ├───────┼───────┼ дисперсия дохода 17.64

│ 0.10 │0.00│ 0.00 │0.90│ риск операции 4.20

4.2. Анализ по доходу и риску набора операций вероятностно характеризуемой

Задаём 4 операции по примеру (12,1/2)(3,1/2)(4,1/4)(10,1/4) т.е. в каждой

операции 4 возможных дохода - первое число в каждой паре скобок, второе число

в этой паре скобок - это вероятность этого дохода - какая-то правильная

дробь. Сумма всех вероятностей-дробей должна быть равна 1. Для каждой

операции подсчитаем средний ожидаемый доход m и среднее квадратическое отклонение - риск r. Каждая операция представляется в виде точки (r,m) на плоскость (риск - по горизонтали вправо, доход - по вертикали вверх) и выделено жирным шрифтом доминируемые операции и подчёркнутым - недоминируемые, т.е. оптимальные по Парето.

Доходы и вероятности средний ожидаемый

операций доход и риск операций

1-я операция (2,1/4)(6,1/4)(12,1/4)(20,1/4) 10.006.78

2-я операция (0,1/2)(4,1/4)(5,1/5)(20,1/20) 3.00 4.47

3-я операция (2,1/20)(6,1/4)(8,1/5)(22,1/2) 14.20 7.90

4-я операция (0,1/2)(4,1/4)(8,1/8)(32,1/8) 6.00 10.20

Нанесем средние ожидаемые доходы и риски на плоскость – доход откладываем по вертикали, а риски по горизонтали (см. рис.):

Получили 4 точки. Чем выше точка , тем более доходная операция, чем точка правее – тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. Точкадоминирует точку, еслиQ΄и r΄и хотя бы одно из этих неравенств строгое. В нашем случае 3-я операция доминирует 2-ую, а 1-ую, 3-ю и 4-ую операции сравнивать нельзя, т.к. при переходе от первой операции к 4-ой с ростом риска растет доход. Легко видеть, что если из рассмотренных операций надо выбирать лучшую, то ее обязательно надо выбрать из операций по Парето.

Пусть Q₁иQ₂две финансовые операции с эффективностямиe₁,e₂и рискамиr₁,r₂соответственно. Пустьt– какое-нибудь число между 0 и 1. Тогда операцияQ_t=(1-t)Q₁+tQ₂называется линейной комбинацией операцийQ₁,Q₂. При движении от 0 к 1 операцияQ_tизменяется отQ₁доQ₂. Эффективность операцииQ_tравна(1-t)e₁+te₂, с риском же дело обстоит сложнее.

4.3.Риск линейных комбинаций двух некоррелированных операций

Пусть Q1 и Q2 две финансовые операции с эффективностями e1,e2 и

рисками r1,r2 соответственно. Пусть t - какое-нибудь число между 0 и 1 .

Тогда операция Qt=(1-t)Q1+tQ2 называется линейной комбинацией операций Q1,Q2.

При движении от 0 к 1 операция Qt изменяется от Q1 до Q2. Эффективность

операции Qt равна (1-t)e1+te2, с риском же дело обстоит сложнее. Рассмотрим

только случай некоррелированных операций Q1,Q2, тогда дисперсия операции

Qt равна (1-t)^2*D1+(t)^2*D2, где D1,D2 - дисперсии операций, значит,

риск операции Qt есть rt=Sqrt((1-t)^2*r1^2+(t)^2*r2^2). Зададим эффективности и риски операций Q1,Q2 и увидим кривую рисков-эффективностей линейных

комбинаций этих операций. Линейные комбинации заполняют весь отрезок между

точками-операциями выделенные жирным шрифтом, а кривая их характеристик (рисков-эффективностей) выделена точечными линиями. Выделена также операция (Q1+Q2)/2 -

"среднее арифметическое" операций Q1,Q2 и указаны ее характеристики, еще

выделена операция с наименьшим риском - она также разделяет точки - линейные

комбинации на оптимальные по Парето и нет. Обратим внимание, что эта операция

лучше одной из двух заданных операций - это есть эффект диверсификации в

двух операций в простейшей форме.

1-я операция 2-я операция

эффективность xx<=20 риск 30<=xx эффективность xx>=60 риск xx>=60

20 20 70 70

e

70

65 Q₃(70;70)

60

55

50

45

40

35 Qp(35,20) -- Qs(33;40)

30

25

20

15

10 Q₂(20;20)

5

1

0 1 10 20 30 40 50 60 70 r

4.4.Оптимисты, объективисты и пессимисты по отношению к риску

Вам предлагают купить лотерейный билет, по которому немедленно будет проведен

розыгрыш. У Вас равные шансы выиграть сумму S=$100 и остаться при своих

- ничего ни выиграть ни проиграть. За какую сумму Вы купили бы этот билет?

Если за $50, то Вы "объективист". Так называют тех, кто покупает билет за сум-

му M, равную математическому ожиданию выигрыша - в данном случае M=$50.

Если Вы согласны заплатить за билет лишь менее M , например, только $45, то

Вы не любите рисковать. Условно будем называть не любящих рисковать пессимис-

тами(они не верят в выигрыш).

Если же Вы согласны заплатить за билет более M , например, 55 долларов, то Вы

уверены, что Вам повезет и Вы выиграете $100. В этом случае Ваше отношение к

риску положительное. Вас можно назвать оптимистом - любящим риск (risk lover).

Это что касается покупной цены лотерейного билета. Но можно узнать о Вашем от-

ношении к риску, рассуждая так же о продажной цене лотерейного билета.

Фиксируем теперь сумму $100 и будем изменять вероятность выигрыша p . Рассма-

триваемый лотерейный билет при данном p дает выигрыш $100 с вероятностью p.

Графики цены такого билета для объективиста, пессимиста и оптимиста см. далее.

Рассмотрим плоскую фигуру, образованную ломаной OCM и прямой объективиста

или кривой оптимиста или пессимиста. Доля f, которую занимает эта фигура в

прямоугольнике OAMC оценивает отношение индивида к риску. Если f=0,5, то

это объективист, при f<0,5 - это пессимист, при f>0,5 - оптимист.

объективисты

А (0;100) М(1;100)

оптимисты

25.00

пессимисты

Р

0 (0;0)

0,50 С (1;0)

Отношения к риску:

Для оптимистов: 0,33

Для объективистов: 0,55

Для пессимистов: 0,67