1.4. Задача о комплектном плане.

Исходные данные:

из пункта 1.1. имеем задачу линейного программирования

59 x₁ + 27 x₂ + 20x₃ +35 x₄ → max,

1x₁ + 3x₂ + 2x₃ + 2x₄ ≤ 102,

3x₁ + 2x₂ + 0x₃ + 3x₄ ≤ 204,

4x₁ + 2x₂ + 3x₃ + 1x₄ ≤ 188,

x_{1 - 4} ≥ 0.

Даны следующие пропорции:

x₃ x₄

— = 2, — = 5,

x₁ x₂

Решение:

1.Предположим, что в данной линейной производственной задаче продукция производится комплектно: 3-го вида продукции необходимо произвести в 2 раза больше, чем 1-го, а 4-го в 5 раз больше, чем второго вида продукции.

x₃ x₄

Т.е. имеем соотношения — = 2, — = 5, или x₃ = 2x₁ и x₄ = 5x₂.

x₁ x₂

Подставляя эти выражения x₃ и x₄ через x₁ и x₂ в данную линейную производственную задачу, получаем следующее

59 x₁ + 27 x₂ + 20∙2x₁+35∙5x₂ → max,

x₁ + 3x₂ + 2∙2x₁ + 2∙5x₂ ≤ 102,

3x₁ + 2x₂ + 0 + 3∙5x₂ ≤ 204,

4x₁ + 2x₂ + 3∙2x₁ + 5x₂ ≤ 188,

x₁, х₂ ≥ 0.

2. Преобразуем полученную модель к задаче линейного программирования с двумя переменными:

99x₁ + 202x₂ → max,

5x₁ + 13x₂ ≤ 102, (I)

3x₁ + 17x₂ ≤ 204, (II)

10x₁ + 7x₂ ≤ 188, (III)

x₁, х₂ ≥ 0.

Решим полученную задачу графически.

х₂

III

I

M II

0 х₁

Искомая точка м находится как решение системы:

5 x₁ + 13x₂ =102,

10x₁ + 7x₂ =188.

Т.е. x₁ = 346/19 ≈18, x₂ = 16/19 ≈ 1. Найдем оптимальный план с учетом значений x₁ и x₂. Он примерно равен 1984.

Оптимальное распределение инвестиций

2.1.Оптимальное распределение инвестиций

Пусть 4 фирмы образуют объединение. Рассмотрим задачу распределения инвестиций в размере 700 тыс. рублей по этим 4 фирмам. Размер инвестиций пусть будет

кратен 100 тыс. рублей. Эффект от направления i-й фирме инвестиций в размере

x ( тыс. рублей) выражается функцией fi(x).

Приходим к задаче

f1(x1)+f2(x2)+f3(x3)+f4(x4)-->max ,

x1+x2+x3+x4<=7; x1,x2,x3,x4=>0

где xi - пока еще неизвестный размер

инвестиций i-й фирме. Эта задача решается методом динамического программирования: последовательно ищется оптимальное распределение для k=2,3 и 4 фирм. Пусть первым двум фирмам выделено m инвестиций, обозначим z2(m) величину инвестиций 2-й фирме, при которой сумма

f2(z2(j))+f1(m-z2(100j)), 0<=j<=m максимальна, саму эту максимальную вели-

чину обозначим F2(m). Далее действуем также: находим функции z3 и F3 и т.д.

На каждом шаге для нахождения Fk(m)) используем основное рекуррентное

соотношение: Fk(m)=max{fk(j)+F{k-1}(m-100j): 0<=j<=7}.

x	0	100	200	300	400	500	600	700
f1(x)	0	10	20	30	38	43	49	52
f2(x)	0	13	25	37	47	55	61	66
f3(x)	0	6	13	20	27	3	38	41
f4(x)	0	24	36	0	46	48	48	49

x2	t f1\F1	0 0	100 10	200 20	300 30	400 38	500 43	600 49	700 52
0	0	0	10	20	30	38	43	49	52
100	13	13	23	33	43	51	56	62
200	25	25	35	45	55	63	68
300	37	37	47	57	67	75
400	47	47	57	67	77
500	55	55	65	75
600	61	61	71
700	66	66

Таблица N 1

Жирным шрифтом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 2 предприятиям.

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F2	0	13	25	37	47	57	67	77
z2	0	100	200	300	300	300	300	400

Таблица N 2

x3	t f2\F2	0 0	100 13	200 25	300 37	400 47	500 57	600 67	700 77
0 100 200 300 400 500 600 700	0 6 13 20 27 3 38 41	0 6 13 20 27 3 38 41	13 19 26 33 40 16 51	25 31 38 45 52	37 43 50 57 64	47 53 60 67	57 63 70	67 73	77
				28

Жирным шрифтом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответ-

ствующего размера инвестиций 3 предприятиям.

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F3	0	13	25	37	47	57	67	77
z3	0	0	0	0	0	0	0	0

Таблица N 3

x4 0 100 200 300 400 500 600 700

t f3\F3 0 24 36 0 46 48 48 49

0 0 0 24 36 0 46 48 48 49

100 13 13 37 49 13 59 61 61

200 25 25 49 61 25 71 73

300 37 37 61 73 37 83

400 47 47 71 83 47

500 57 57 81 93

600 67 67 91

700 77 77

Жирным шрифтом обозначен максимальный суммарный эффект от выделения соответствующего размера инвестиций 4 предприятиям.

t F4 z4

0 0 0

100 24 100

200 37 100

300 49 100

400 61 100

500 73 200

600 83 200

700 93 200

Сведем результаты в 4 таблицы. Теперь F4(700)=93 показывает максимальный

суммарный эффект по всем 4-м фирмам, а z4(700)=200 - размер инвестиций в 4-ю

фирму для достижения этого максимального эффекта. После этого на долю первых

3-х фирм осталось (700-200) и для достижения максимального суммарного эффекта

по первым 3-м фирмам в 3-ю надо вложить 000 и т.д. Жирным шрифтом

отмечены оптимальные значения инвестиций по фирмам и значения эффектов от них.

t	0	100	200	300	400	500	600	700
F1=f1 z1=x1	0 0	10 1	20 200	30 3	38 4	43 5	49 6	52 7
F2 z2	0 0	13 1	25 2	37 3	47 3	57 300	67 3	77 4
F3 z3	0 0	13 0	25 0	37 0	47 0	57 0	67 0	77 0
F4 z4	0 0	24 1	37 1	49 1	61 1	73 2	83 2	93 200