дискр мат / полнота_бул

Первый: . Рассмотрим функцию , тогда и, то есть g(х)=. Это означает что [F] содержит . Нашему классу принадлежит несамодвойственная функция . По лемме о несамодвойственной функции замыкание F содержит константы 0 и 1. Так как [F] содержит нелинейную функцию f₅ , то в силу леммы о нелинейной функции [F] содержит и конъюнкцию. Мы доказали, что в первом случае [F] содержит отрицание и конъюнкцию.

Второй: . Тогда если и то . Получили константу 1. , так как . Получили константу 0. Так как [F] содержит немонотонную функцию , то по лемме о немонотонной функции [F] содержит . Далее . Далее по лемме о нелинейной функции [F] содержит и конъюнкцию.

Определение

Система булевых функций называется базисом, если она полна, а удаление любой функции из системы делает её неполной.

Теорема

Каждый базис содержит не более четырех булевых функций

Доказательство

Предположим, что существует базис F, состоящий более чем из четырех функций – пяти. Тогда по теореме Поста получаем, что F состоит ровно из пяти функций, каждая из которых не принадлежит ровно одному классу Поста. Пусть и , тогда , но с другой стороны , следовательно, . Таким образом, не является самодвойственной функцией, что приводит к противоречию.