дискр мат / Понятие_суперпозиции
.doc
Понятие двойственности
Определение
Функция называется двойственной по отношению к функции , если
.
Согласно определению, для того, чтобы получить двойственную функцию, в таблице истинности исходной функции все нули заменяем на единицы, а все единицы – на нули.
Пример
,
x |
y |
|
|
|||
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
Отсюда получаем: , .
Определение
Функция называется самодвойственной, если она равна двойственной.
Пример
x |
|
|||
0 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
0 |
1 |
Следовательно, тождественная функция и функция отрицания являются самодвойственными.
Поэтому если функция представлена формулой, в которой используются только операции , то для получения двойственной функции нужно конъюнкцию заменить на дизъюнкцию, а дизъюнкцию на конъюнкцию.
Пример
Понятие суперпозиции
Определение
Функция называется суперпозицией функций и функции , если
Не теряя общности, имея возможность добавления и изъятия фиктивных переменных, можем считать, что функции зависят от одного и того же числа переменных.
Пример
Функция
Является суперпозицией функций:
Теорема
Если функция реализована формулой
,то формула
реализует функцию .
Доказательство
Если формула представлена как суперпозиция функций , , то для получения : заменяем на , на на .