дискр мат / полнота_бул

14

Замкнутость

Определение

Система булевых функций F = {} называется замкнутой относительно переименования аргументов, если из того, что n-местная функция F, а - другие переменные (среди которых могут быть и совпадающие) следует, что F.

Пример замены переменных

- заменяем

x на, получаем

Определение

Система булевых функций F называется замкнутой относительно суперпозиции, если из того, что F и

, … , F следует, что, … , = F.

Пример

Функция , соответствующая формуле есть суперпозиция функций = и функций , , .

Определение

Система булевых функций F называется замкнутой, если она содержит тождественную функцию, замкнута относительно переименования аргументов и замкнута относительно суперпозиции.

Пример

Если F содержит функцию и и замкнута относительно операций суперпозиции и переименования переменных, то F содержит , поскольку

Классы булевых функций

Рассмотрим замкнутые классы булевых функций

Класс функций, сохраняющих 0

Определение

Функция сохраняет ноль, если

Класс функций, сохраняющих 0:

Пример

x&y

Покажем, что класс замкнут

1. Он содержит тождественную функцию

сохраняет 0.

2. Если є и новые переменные, то очевидно, что є

3. Суперпозиция.

Пусть є и суперпозиция функций , тогда

Класс функций, сохраняющих 1

Определение

Функция сохраняет единицу, если

Класс функций, сохраняющих 1:

Пример

Доказательство замкнутости аналогично

Самодвойственные функции

Определение

Функция f самодвойственная, если она равна своей двойственной функции.

Пример

и .

Покажем замкнутость класса самодвойственных функций.

1) содержит x, так как x – самодвойственная функция.

2) Пусть є Т* и - новый набор переменных. Тогда поскольку = выполняется для значений переменных , то оно будет выполняться и для . Следовательно, є Т*.

3) Пусть и .

Если выполняется условие , (1)

то выполняется и следующее условие

(2)

= в силу равенства (2) = ,…,. Следовательно, *.

Лемма о несамодвойственной функции

Пусть *, тогда замыкание класса функций F = {, -} содержит константы 0 и 1.

Доказательство

Так как *, то такие, что

Так как функция f может принимать только два значения, из этого неравенства следует равенство .

Для удобства предположим, что . Тогда последнее равенство примет вид

; отделяет к-й аргумент от (к+1)-го.

Рассмотрим функцию

, так как получена из функции f путем переименования аргументов.

Следовательно - одна из констант 0 или 1, а так как , то обе константы принадлежат классу F.

Класс монотонных функций

Определение

Функция называется монотонной, если для любых двух векторов и из условия следует, что .

тогда и только тогда когда

Пример

, .

Для вычисления монотонных функций удобно построить диаграмму. Рассмотрим ее на примере функции

(1,1,1)

(1,0,1)

(1,1,0) (0,1,1)

(0,0,1) (0,1,0) (0,0,1)

(0,0,0)

Если в какой-то вершине диаграммы функция принимает значение 1, то всюду выше монотонная функция также должна принимать значение 1.

В нашем случае f(1,1,0)=1, a f (1,1,1)=0, cледовательно функция не монотонная.

Класс монотонных функций

Покажем, что класс монотонных функций замкнут

1) Тождественная функция

2. Пусть и - новые переменные.

Возьмем два набора значений переменных : и таких, что , но эти векторы будут значениями и переменных и потому выполняется равенство .

2. Пусть . Рассмотрим функцию

Возьмем два набора значений переменных : и , таких что .

Обозначим значения

….

….

В силу монотонности функций , i = 1,…,n имеем , i = 1,…,n.

=

=, то есть .

Лемма о немонотонной функции

Пусть . Тогда замыкание класса содержит отрицание.

Доказательство

Так как то существуют такие наборы и , что , а .

Если , то для любого i - или , а .

, следовательно, . Тогда существует такой, что для , а . Другими словами J – это множество индексов, для которых .

Рассмотрим функцию где , если и , если .

Тогда , то есть

, а , значит .

Полнота булевых функций

Определение

Замыканием класса булевых функций F называется класс всех функций, которые можно получить из F и тождественной функции с помощью суперпозиции и переименования переменных. Обозначение .

Если , то есть замыкание даёт все булевы функции, то класс функций F называется полным.

То есть класс F полон, если любую булеву функцию можно получить из F и тождественной функции с полнотою операций суперпозиции и переименование аргументов.

Мы уже знаем один такой класс

Пример

Утверждение

Если F полный класс булевых функций и любая функция класса F выражается (с полнотою суперпозиции и переименования аргументов) через функции класса G, то G - полный класс.

Действительно

Если любая булева функция выражается через функции класса F, то она будет выражаться и через функции класса G.

Пример

Рассмотрим системы:

1.

2., , ,

Свойства замыкания

1.- замыкание класса не уже этого класса.

2. [[F]]=[F] - повторное замыкание не расширяет предыдущего замыкания, то есть всякий замкнутый класс замкнут.

3. - вложенность классов сохраняет вложенность их замыканий.

4. - замыкание объединения не уже объединений замыканий.

Полином Жегалкина

Как мы уже говорили система функций - полная.

Представление булевой функции с использованием констант 0,1, символов переменных, операций + и называется представлением булевой функции в виде полинома Жегалкина.

Общий вид полинома Жегалкина для булевой функции от двух переменных:

,

для булевой функции от трех переменных:

, с_і {0,1}

Теорема

Любая булева функция может быть представлена в виде полинома Жегалкина причём в единственным образом.

Доказательство

Любая булева функция может быть представлена в виде полинома Жегалкина, поскольку система функций - полная.

Единственность вытекает из того, что число всех булевых функций от n переменных равно 2²и число различных полиномов от n переменных равно 2². Число слагаемых в полиноме это число всех подмножеств множества , а оно равно 2ⁿ. Коэффициенты с_i могут принимать значение 0 или 1. Поэтому зафиксировать конечный полином можно будет 2² способами.

При построении полинома используются следующие тождества алгебры логики:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

Первым этапом построения для булевой функции в виде полинома Жегалкина является приведение ее к СДНФ. Далее, в полученной формуле, заменяем дизъюнкцию на сложение по модулю 2. Если мы воспользуемся формулой 1, то получим . Если и конституенты 1, то . Обязательно одна из переменных будет входить в без отрицания, а в с отрицанием или наоборот.

Пример

Рассмотрим булеву функцию, представленную СДНФ и построим для нее полином Жегалкина.

формула 1

=

формула 3 – убираем отрицания

формула 2 – раскрываем скобки

формула 5 и 4

.

Второй метод построения полинома Жегалкина – метод неопределенных коэффициентов. Используется общий вид полинома Жегалкина, коэффициенты которого определяются на основе таблицы истинности.

Пример

x	y	xy
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

(1)

Найденные коэффициенты подставим в формулу (1):.

Класс линейных функций

Определение

Функция называется линейной, если она может быть представлена в виде: , .

Пример

Класс линейных функций

Класс линейных функций замкнут:

Тождественная функция является линейной.

Замкнутость относительно переименования переменных очевидна. Суперпозицию доказывается простой подстановкой. Пусть ,

…

Лемма о нелинейной функции

Пусть T_L тогда замыкание класса содержит коньюнкцию.

Доказательство

Любая функция может быть задана полиномом Жегалкина. Так как fT_L , то существует хотя бы одно слагаемое, которое содержит конъюнкцию по крайне мере двух переменных. Для определенности пусть это будут x₁ и x₂. Тогда все слагаемые можно разделить на 4 группы:

- содержащие x₁x₂ ;

- содержащие x₁;

- содержащие x₂;

- не содержащие x₁ и x_1.

В первой группе вынесем за скобки x₁x₂ , во второй - x₁, в третьей - x₂ .

В результате получим:

.

Причём .

Следовательно, существуют такие значения переменных - , что .

Пусть

, b,c,d {0,1}э

Рассмотрим функции:

Теорема Поста

Класс булевых функций F полон тогда и только тогда, когда он содержит хотя бы одну функцию, не сохраняющую 0, хотя бы одну функцию, не сохраняющую 1, хотя бы одну несамодвойственную функцию, хотя бы одну не монотонную функцию, хотя бы одну нелинейную функцию. При этом функции не обязательно должны быть различны.

Необходимость

Необходимость будем доказывать от противного. Пусть и или , или , или , или . Если один из пяти классов, то . , поскольку любой из классов является замкнутым. По свойствам замыкания имеем: . Тогда , но не все булевы функции включаются в один из классов. Для подтверждения рассмотрим таблицу:

функция
0	+	-	-	+	+
1	-	+	-	+	+
	-	-	+	-	+
	+	+	-	+	-

Для каждого класса существует булева функция, которая ему не принадлежит.

Достаточность

Пусть F содержит функцию . Причем не обязательно, чтобы они все были разные. Так как , то . Относительно значения рассмотрим два случая.