1.3. Изохорный подвод теплоты, изобарное расширение и политропное сжатие

Выполним расчёт и анализ указанной совокупности процессов на примере решения следующей задачи.

Задача. 1 кг воздуха, находящегося при температуре минус 10,3°С и разрежении 50 мм рт. ст изохорно нагревается до манометрического давления 1,0 кгс/см², а затем изобарно расширяется до такого объёма, чтобы политропно возвратиться в начальное состояние. Показатель политропы п = –1,3. Атмосферное давление 100,5 кПа.

Изобразить цикл, образованный этими процессами, на термических и тепловой диаграммах. Определить параметры воздуха в характерных точках цикла, а также степень его совершенства.

Решение:

Термические параметры рабочего тела в характерных точках:

Точка 1

• давление ,

так как 750 мм рт. ст.=1 бар

• температура

• удельный объем ,

где – удельная газовая постоянная воздуха;

Точка 2

• давление

,

так как 1 кг/см² = 98066,5 Па

• удельный объем

, (по условию задачи процесс 1-2 изохорный)

• температура

;

Точка 3

• давление (по условию процесс 2-3 изобарный)

• удельный объем (процесс 3-1 политропный)

Рис.1.3. Изображения заданного цикла на термических и тепловой диаграммах: 1-2 – изохорный подвод теплоты, 2-3 – изобарное расширение, 3-1 – политропное сжатие.



• температура



Результаты расчетов записываем в таблицу:

Точки	р, МПа	v, м3/кг	Т, К
1	0,093833	0,80424	262,85
2	0,198566	0,80424	556,25
3	0,198566	1,4316	990,10

Отводимая в цикле теплота

,

где изохорная теплоёмкость с_v по упрощенной МКТ для воздуха как двухатомного газа рассчитывается из соотношения:

Подводимая в цикле теплота

где изобарная теплоёмкость с_р в соответствии с МКТ равна

.

Термический КПД рассматриваемого цикла

,

Термический КПД предельного цикла Карно

Степень совершенства рассчитанного цикла

Итак, рассмотренный термодинамический цикл значительно уступает по эффективности соответствующему предельному циклу Карно. Это обусловлено тем, что количества подводимой и отводимой в цикле теплоты близки.

1.4. Адиабатное сжатие, изохорный подвод теплоты, изобарное и политропное расширение

Выполним исследование заданной совокупности процессов на примере решения следующей задачи.

Задача. 1 нм³ метана адиабатно сжимается до 1/5 первоначального объема, затем изохорно нагревается при подводе 200 кДж теплоты, затем изобарно расширяется с подводом 100 кДж теплоты, наконец, политропно возвращается в начальное состояние.

Изобразить цикл на термических и тепловой диаграммах. Определить параметры газа в характерных точках образовавшегося цикла и его степень совершенства. Начальные параметры рабочего тела р₁ = 1 бар,t₁ = 100°С.

Решение

Прежде всего изобразим цикл на диаграммах

Затем рассчитываем:

• удельную газовую постоянную метана (СН₄):

Рис. 1.4. Изображения исследуемого цикла на термических и тепловой диаграммах: 1-2 – адиабатное сжатие, 2-3 – изохорный подвод теплоты, 3-4 – изобарный подвод теплоты, 4-1 – политропный отвод теплоты.

,

• удельный объем метана в точке 1:

• параметры метана в точке 2 (процесс 1-2 – адиабатный)

удельный объём

температура

давление ,

где k = 1,33 – показатель адиабаты для газов, молекулы которых содержат три либо большее количество атомов.

Для дальнейших расчетов необходимо определить массу одного нм³ с помощью уравнения состояния

При определении параметров точки 3 используем заданное значение теплоты, подводимой в процессе. Теплота в изохорном процессе 2-3 рассчитывается из соотношения

, тогда ,

где q_v = Q_v/М = 200/0,7139 = 280,15 кДж/кг — удельная теплота, подводимая в изохорном процессе;

c_v — изохорная теплоёмкость с_v, которая по упрощенной МКТ рассчитывается из соотношения

,

здесь j — количество вращательных степеней свободы атомов в молекуле (для трёх- и многоатомных газов j = 3).

В изохорном процессе температура и давление изменяются прямо пропорционально:

, отсюда

Параметры точки 4 (процесс 3-4 – изобарный)

р₄ = р₃ = 1,0912 МПа

Удельная теплота в изобарном процессе рассчитывается из соотношения:

,

отсюда ,

где q_p=Q_p/М=100/0,7139=140,08 кДж/кг — удельная теплота, подводимая в изобарном процессе (см. условие задачи),

c_p — изобарная теплоёмкость метана, рассчитываемая из соотношения:

.

В изобарном процессе температура и удельный объём изменяются прямо пропорционально:

, отсюда

Результаты расчетов записываем в таблицу:

Точки	р, МПа	v, м3/кг	Т, К
1	0,1	1,9390	373,15
2	0,8504	0,3878	634,66
3	1,0912	0,3878	814,37
4	1,0912	0,4199	881,76

Свидетельством о точности выполненных расчётов является равенство суммы работ Σl, рассчитанных через параметры p и v и суммы теплот Σq, рассчитанных через Т, с_р и с_v для всех процессов, образующих цикл.

Рассчитываем значения работы во всех термодинамических процессах, образующих исследуемый цикл:

— деформационнаяработа в адиабатном процессе сжатия 1-2

—деформационная работа в изохорном процессе 2-3 ,

— работа расширения в изобарном процессе 3-4

,

— работа в политропном процессе расширения 4-1

где п — показатель политропы расширения, рассчитанный из соотношения

, отсюда .

Далее рассчитываем значения теплоты в процессах, образующих цикл:

— в адиабатном процессе сжатия 1-2

— в изохорном процессе 2-3 (см. стр. 18)

— в изобарном процессе 3-4 (стр. 18)

— в политропном процессе 4-1

Результаты расчетов сводим в таблицу:

Процессы	Деформационная работа l, кДж/кг	Теплота q, кДж/кг
1-2 — адиабатный	–411,78	0.
2-3 — изохорный	0.	280,15
3-4 — изобарный	34,05	140,08
4-1 — политропный	470,19	–327,39
Сумма	92,46	92,84

Из таблицы видно, что сумма работ отличается от суммы теплот на 0,38 кДж/кг, то есть на 0,41 %. Это свидетельствует об удовлетворительной точности расчетов.

Термический КПД исследуемого цикла

,

где q₁= q_2-3 + q_3-4 = 280,15 + 140,08 =420,23 кДж/кг – теплота, подводимая в цикле.

Термический КПД предельного цикла Карно

Степень совершенства рассматриваемого цикла

.

Следовательно, эффективность заданного цикла ниже эффективности соответствующего предельного цикла Карно почти на 62 %