4. Эллиптический фильтр

АЧХ фильтра:

K(ω) = ,

где

ω0 – частота среза

Rn(…) – рациональная функция Чебышева n-го порядка

n – порядок фильтра

ε и L – параметр, определяющий величину пульсаций АЧХ в полосах пропускания и задерживания.

Рис. 4.10 – Расположение полюсов на комплексной плоскости эллиптического фильтра

Функция передачи эллиптического фильтра имеет как полюсы, так и нули. Нули, являются чисто мнимыми и образуют комплексно-сопряженные пары. Количество нулей передачи равно максимальному четному числу, не превосходящему порядок фильтра.

Рис. 4.11 – АЧХ эллиптического фильтра

Рис. 4.12 – ФЧХ эллиптического фильтра

АЧХ (Рис.4.2) имеет пульсации заданной величины, как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания. За счет этого удается обеспечить максимально возможную крутизну ската, т.е. переходную зону между полосами пропускания и задержки.

Листинг программы (для MatLab):

[z,p,k]=ellipap(3,0.5,10) #нули и полюса прототипа

plot(p,'x') #график расположения полюсов

hold on

plot(z,'o') #график расположения нулей

hold off

axis equal

axis ([-1.5 1.5 -1.5 1.5])

w=0:0.01:5;

[b,a]=zp2tf(z,p,k); #коэффициенты функции передачи

h=freqs(b,a,w); #комплексный коэфициент передачи

figure

plot(w,abs(h)),grid

figure

plot(w,unwrap(angle(h))),grid

5. Фильтр Бесселя

Передаточная функция:

H(s) =

Рис. 5.13 – Расположение полюсов на комплексной плоскости фильтра Бесселя

Имеет только полюсы лежащие на окружности с центром в положительной области вещественной оси.

Рис. 5.14 – АЧХ фильтра Басселя

Рис. 5.15 – ФЧХ фильтра Басселя

Фильтры Бесселя не аппроксимируют прямоугольную АЧХ (Рис.5.2). Их АЧХ по форме близки к гауссовой кривой. Зависимость группового времени задержки от частоты является максимально гладкой в точке ω = 0 и групповая задержка мало меняется в полосе пропускания.

Листинг программы (для MatLab):

[z,p,k]=besselap(3); #нули и полюса прототипа

plot(p,'x') #график расположения нулей

axis([-1 1 -1 1])

w=0:0.01:5;

[b,a]=zp2tf(z,p,k); #коэффициенты функции передачи

h=freqs(b,a,w); #комплексный коэфициент передачи

figure

plot(w,abs(h)),grid

figure

plot(w,unwrap(angle(h))),grid

Преобразования фильтров – прототипов к заданным типам фильтров.

1. Преобразование фильтра Баттерворта в полосовой фильтр

Рисунок 1.1 – АЧХ

Рис. 1.2 – ФЧХ

Переход от ФНЧ к полосовому фильтру (ПФ) производится с помощью преобразования частоты jω' = jωa + b/jω или ω' = aω – b/ω. Выбор параметров a и b позволяет обеспечить желаемую полосу пропускания искомого полосового фильтра, ограниченную частотами среза ω_с1 и ω_с2.

Листинг программы (для MatLab):

[z,p,k]=buttap(2);

[b,a]=zp2tf(z,p,k);

f1=1e3;

f2=9e3;

w0=2*pi*sqrt(f1*f2);

Bw=2*pi*(f2-f1);

[b,a]=lp2bp(b,a,w0,Bw);

f=0:0.01:20e3;

h=freqs(b,a,2*pi*f);

plot(f/1000, abs(h)),grid

axis tight

figure

plot(f/1000, unwrap(angle(h))),grid

2. Преобразование фильтра Чебышева первого рода в режекторный фильтр

Рисунок 2.2 – АЧХ

Рис. 2.2 – ФЧХ

Аналогично осуществляется переход от НЧ-прототипа к режекторному фильтру. Здесь используется преобразование частоты ω' = ω /( ω₀² – ^), где _з2 – _з1 — ширина полосы задерживания; ω₀² = ω_з1 ω _з2.

Листинг программы (для MatLab):

[z,p,k]=cheb1ap(2,0.5)

[b,a]=zp2tf(z,p,k);

f1=1e3;

f2=9e3;

w0=2*pi*sqrt(f1*f2);

Bw=2*pi*(f2-f1);

[b,a]=lp2bs(b,a,w0,Bw);

f=0:0.01:20e3;

h=freqs(b,a,2*pi*f);

plot(f/1000, abs(h)),grid

axis tight

figure

plot(f/1000, unwrap(angle(h))),grid