4. Транспортная задача

Классическая транспортная задача формулируется следующим образом.

Имеется m пунктов отправления (производства) A₁, A₂, ... ,A_m, в которых расположены запасы некоторого однородного продукта (груза). Объём этого продукта в пункте A_i составляет a_i единиц. Кроме того, имеется n пунктов потребления B₁, B₂, ... ,B_n. Объём потребления в пункте B_j составляет b_j единиц.

Предполагается, что из каждого пункта отправления возможна транспортировка продукта в любой пункт потребления. Известна также стоимость c_ij перевозки единицы продукта из пункта A_i в пункт B_j .

Требуется составить такой план перевозок, при котором все заявки пунктов потребления полностью выполнялись бы пунктами отправления, а общая стоимость была минимальной.

При такой постановке данную задачу называют транспортной задачей по критерию стоимости.

Условия транспортной задачи (Т-задачи) можно представить в виде табл. 5.

Таблица 5

ПП ПО	B1	B2	. . .	Bn	Запасы ai
A1	c11	c12	. . .	c1n	a1
A2	c21	c22	. . .	c1n	a2
. . .	. . .	. . .	. . .	. . .	. . .
Am	cm1	cm2	. . .	cmn	am
Заявки bj	b1	b2	. . .	bn

В табл. 5 приняты обозначения: ПО - пункты отправления продукта; ПП - пункты потребления. Равенство, приведенное в нижнем правом углу таблицы, означает, что сумма заявок пунктов потребления равна сумме запасов продуктов в пунктах отправления.

Составим математическую модель сформулированной задачи. Обозначим x_ij - количество продуктов, отправляемых из i-_го пункта A_i в j-_й пункт B_j. Требуется определить множество переменных x_ij  0 (число которых очевидно равно mn), удовлетворяющих условиям:

и доставляющих целевой функции

минимальное значение.

Условие (1) означает, что суммарное количество продукта, направляемое из каждого пункта отправления во все пункты потребления, должно быть равно запасу этого продукта в данном пункте.

Условие (2) означает, что суммарное количество продуктов, доставляемых каждый пункт потребления из всех пунктов отправления, должно быть равно заявленному количеству продуктов данным пунктом.

Из (1) и (2) следует, что Т-задача имеет mn ограничений-равенств.

Переменные {x_ij} , удовлетворяющие условиям (1) и (2) , записываются в виде матрицы:

Матрица X носит название плана перевозки или просто плана Т-задачи, а переменные x_ij называются перевозками. План X^* называют оптимальным, если целевая функция имеет минимальное значение, т.е. стоимость всех перевозок является наименьшей.

Рассмотрим решение Т-задачи, основанное на преобразовании табл. 5 и состоящее из следующих основных этапов:

 определение опорного плана;

 оценка опорного плана;

 переход к лучшему плану.

Опорным планом Т-задачи называют любое ее допустимое базисное решение.

План называют допустимым , если он удовлетворяет условиям (1) и (2).

Нахождение опорного плана покажем с помощью метода “ северо-западного “ угла. Заполнение таблицы начинается с левого верхнего элемента x₁₁ матрицы X:

x₁₁ = min(a₁ , b₁)

при этом возможны три случая:

 если a₁ < b₁ , то x₁₁ = a₁, а оставшаяся часть первой строки, начиная со второго элемента , заполняется нулями;

 если a₁ > b₁ , то x₁₁ = b₁ , а оставшиеся элементы первого столбца заполняются нулями;

 если a₁ = b₁ , то x₁₁ =a₁=b₁, а оставшиеся элементы первых строк и столбца заполняются нулями.

Затем вычисляются x₁₂ =min(a  x₁₁ , b₂) при a₁ > b₁ или x₂₁=min(a₂, b₂  x₁₁) при a₁ < b₁.

Этот процесс повторяется до тех пор, пока матрица X не будет полностью заполнена.

Согласно рассмотренному выше правилу нахождение опорного плана осуществляется без учета стоимости перевозок. Это приводит к тому, что опорный план является далеким от оптимального.

Правило “минимального элемента“ позволяет построить опорный план с учетом матрицы стоимости перевозок C . Это сокращает количество итераций при поиске оптимального решения.

Вычисления проводятся следующим образом:

Определяется элемент c_ij матрицы C , который соответствует наименьшей стоимости перевозки. Начиная с этого элемента последовательно нумеруются элементы матрицы C в порядке их возрастания. Затем в том же порядке определяются элементы x_ij матрицы X, используя процедуру правила “северо-западного угла”.

Улучшение опорного плана можно обеспечить, используя, например метод потенциалов, сущность которого состоит в следующем.

Для опорного плана определяются потенциалы u_i и v_j , соответствующие базисным клеткам, по условию:

u_i + v_j = c_ij

Таких уравнений будет mn1 , а переменных будет mn. Для их определения одну из переменных полагают равной любому постоянному значению. Обычно принимают u_i =0. После этого для небазисных клеток опорного плана определяются оценки ,

где .

При этом если неположительны, то опорный план оптимален, если же средиокажется хотя бы один положительный элемент, то опорный план можно улучшить.