osnovi_gidravliki

нет возрастать и согласно уравнению (15) будет равно pг = p0 + ρ g h ,

откуда уровень жидкости в резервуаре h = pгρ−gp0 .

По величине h , м, и известной площади поперечного сечения резервуара S , м2, определяютобъемнаходящейсявнемжидкости V , м3:

V = h S .

Гидравлический пресс. Схема гидравлического пресса приведена на рис. 12. Приложение небольшого усилия F1 к поршню 1, движущемуся в цилиндре малого диаметра d1, приведет к созданию давления p, которое по закону Паскаля будет передаваться жидкостью (техническим маслом), заполняющей цилиндры, на поршень 2 в цилиндре большого диаметра d2. При этом силы давления на поршни 1 и 2 соответственно составят

Соответственно

F2 = d22 .

F1 d12

Поскольку d2 > d1, то и F2 > F1. Таким образом осуществляется прессование (раздавливание) обрабатываемого материала 3, помещенного между поршнем 2 и неподвижной плитой 4.

Гидравлический домкрат. Поднятие тяжелых грузов на небольшую высоту можно осуществлять при помощи гидравлических домкратов, принцип работы которых во многом схож с работой гидравлического пресса (рис. 12). Гидравлический домкрат состоит из цилиндра с большим поршнем 2 и насоса с малым поршнем 1, нагнетающего в цилиндр жидкость. Давление, оказываемое поршнем насоса 1 на жидкость, передается на большой поршень 2, на котором устанавливаются поднимаемые грузы 3, 4. Гидравлические домкраты применяются в ряде строительных машин: бульдозерах, автокранах, канавокопателях и пр.

31

В частности, если у сосудов различной формы (рис. 13, б) одинаковы давления на свободную поверхность жидкости, площади плоских днищ и высоты уровня жидкости ( p1 = p2 = p3 ; S1 = S2 = S3 ; h1 = h2 = h3 ), то сила гидростатического давления на дно этих сосудов

будет также одинаковой.

В случае равномерно распределенной нагрузки на дно сосуда, имеющее площадь S , точка приложения равнодействующей F (центр давления) и центр тяжести площадки S совпадают (рис. 13, а).

2.8.2 Давление жидкости на плоскую наклонную поверхность

Определим силу абсолютного гидростатического давления на площадку S , лежащую в плоскости стенки, расположенной под углом α к горизонту (рис. 14). Ось координат 0z расположена вдоль рассматриваемой стенки; ось 0x совпадает с линией пересечения плоскости свободной поверхности жидкости с плоскостью стенки и располагается перпендикулярно плоскости чертежа. Для наглядности развернем плоскость стенки и ось 0x на 90о до совпадения с плоскостью чертежа.

p0

0

Рис. 14. Давление жидкости на плоскую наклонную поверхность.

33

В пределах площади S выберем бесконечно малую площадку dS , находящуюся на произвольной глубине h от свободной поверхности (оси 0x) и на произвольном расстоянии x от оси 0z. Примем следующие обозначения: hC и hD – глубина погружения центра тя-

жести (точка С) и центра давления (точка D ) площадки S ; xC и xD –

щади S относительно оси 0x, т. е.

∫z dS = S zC ,

S

поэтому, учитывая что zC sinα = hC ,

ρ g sinα ∫z dS = ρ g sinα S zC = ρ g hC S .

S

Подставив проинтегрированные выражения в исходное уравнение (19), получим

Таким образом, сила абсолютного давления на плоскую поверхность выражается произведением площади поверхности на величину абсолютного гидростатического давления в ее центре тяжести.

Координаты центра давления определяются по выражениям:

Определим каждую составляющую отдельно. Предположим, что элементарная сила dF расположена под углом α к горизонту (рис. 15). Тогда, с учетом уравнения (19), для горизонтальной составляю-

щади S / относительно оси 0y, равный произведению площади S / на глубину погружения центра ее тяжести hC , т. е.

∫h dS / = S / hC .

S /

Окончательно для горизонтальной составляющей Fx можно записать

Уравнение для второй горизонтальной составляющей Fy , действующей вдоль оси 0y, запишем по аналогии с уравнением (25):

где S // – проекция площадки S на вертикальную координатную плоскость x0z.

Определим вертикальную (параллельную оси 0z) составляющую силы абсолютного гидростатического давления. По аналогии с уравнением (24) запишем

dFz = dF sinα = (p0 + ρ g h) dS sinα .

Учитывая, что произведение dS sinα равняется площади проекции площадки dS на горизонтальную координатную плоскость x0y,

dV , выделенный на рис. 15 штриховкой, а произведение ρ g h dS ///

равно весу dG жидкости в этом бесконечно малом объеме, т. е.

Тогда вертикальная составляющая силы абсолютного гидростатического давления будет равна

Сила F приложена в центре давления. В рассматриваемом случае центр давления расположен в точке пересечения вектора силы F с криволинейной поверхностью. Координаты центра давления для криволинейных поверхностей находятся графоаналитическим методом.

2.9 Закон Архимеда. Плавание тел

Рассмотрим тело произвольной формы, погруженное в покоящуюся жидкость (рис. 16). На тело будут действовать поверхностные силы гидростатического давления, направленные по нормали к его поверхности.

Равнодействующая сила F , действующая на тело, раскладывается на составляющие по трем координатам: Fx , Fy , Fz , причем

Fx = Fx/ − Fx// ; Fy = Fy/ − Fy// ;

Fz = Fz/ − Fz// .

Горизонтальные составляющие гидростатического давления равны нулю:

Fx = 0; Fy = 0.

37

Соответственно, на тело действуют только вертикаль-

ные силы: Fz/ – сила давления на поверхность AECFB и Fz//

– сила давления на поверхность AECFD . Согласно уравнению (27), не учитывая p0 , запишем:

ствующих тел давления.

Тогда равнодействующая сил гидростатического давления на тело, погруженное в жидкость, составит

Fz = Fz/ − Fz// = ρ g (VAacCB −VAacCD ) = −ρ g VABCD = −GABCD. (29)

Уравнение (30) является аналитическим выражением закона Ар-

химеда: на твердое тело, погруженное в покоящуюся жидкость, действует сила гидростатического давления, равная весу жидкости в объеме тела, направленная вертикально вверх и проходящая через центр тяжести тела.

Подъемную силу Fz называют выталкивающей (архимедовой)

силой. Вес жидкости в объеме погруженной в нее части тела называют водоизмещением. Точка приложения архимедовой силы находится в центре тяжести погруженной части тела, называемом центром во-

доизмещения.

Закон Архимеда лежит в основе теории плавания тел, исполь-

зующей два понятия: плавучесть* и остойчивость†.

В зависимости от соотношения между весом плавающего тела G и подъемной силой Fz возможны три состояния тела, погруженно-

го в жидкость:

1 при Fz > G тело всплывает (плавает в полупогруженном состоянии);

* Плавучесть - это способность тела плавать.

† Остойчивость - способность плавающего тела восстанавливать нарушенное при крене равновесие после устранения сил, вызвавших крен.

38

2при Fz < G тело тонет;

3при Fz = G тело не тонет и не всплывает, находясь в состоя-

нии покоя в любой точке водного пространства (плавает в погруженном состоянии).

При воздействии на плавающее тело внешних сил, например, ветра, крутого поворота, удара, оно будет отклоняться от положения равновесия, т.е. давать крен.

Если центр тяжести тела расположен ниже центра водоизмещения, после прекращения воздействия внешних сил тело возвращается в первоначальное положение. Такое плавание называется остойчивым.

Если центр тяжести тела расположен выше центра водоизмещения, плавание будет неостойчивым. В этом случае тело не способно возвратиться в прежнее положение, а наоборот, продолжает отклоняться от него.

При совпадении центров тяжести и водоизмещения тело будет находиться в состоянии безразличного равновесия.

= pB + ρрт g h2 + ρв g h1.

Выразим разность давлений в резервуарах:

pA − pB = ρрт g (h2 −h4 )+ ρв g (h1 −h3 )=

= ρрт g h − ρв g h = g h (ρрт − ρв).

Из табл. 1 выпишем значения плотности воды и ртути:

ρрт =13547 кг/м3; ρв =998 кг/м3.

Окончательно получим:

pA − pB =9,8 0,03 (13547 −998)=3689,4 Па

39