МУ ОМ та буд.механіка для водних ресурсів 2012

Методичні вказівки

Рис. 1.4

~ 23 ~

Методичні вказівки

РПР №3 ВИЗНАЧЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ В СТАТИЧНО ВИЗНАЧЕНИХ СИСТЕМАХ

Перед виконанням роботи студент зобов’язаний ознайомитися з відповідними розділами курсу рекомендованої літератури, розібрати приклади, відповісти на контрольні запитання:

∙Як визначаються переміщення за формулою Максвелла-Мора?;

∙Як формулюється правило Верещагіна?;

∙У яких випадках і як можливо його використовувати?

∙У яких випадках можливо використання формули трапеції?

∙У яких випадках можливо використання формули Сімпсона?

При побудуванні епюр згинальних моментів (одиничних та від навантаження) необхідно показати розрахунки.

Особливу увагу слід зазначити на побудування епюр згинальних моментів у рамах. Перед тим як будувати епюру (від навантаження або одиничну), необхідно скласти рівняння рівноваги, визначити опорні реакції (які у загальному випадку можуть мати горизонтальні та вертикальні складові) та скласти статичну перевірку результатів.

Складні епюри від заданого навантаження для «перемноження» на одиничні рекомендовано розкласти на частини, для визначення положення центра ваги та площі кожної з них. Можливо визначення переміщень окремо від сил P та рівномірно розподіленого навантаження q з наступним додаванням результатів.

Усі переміщення слід визначати за формулою Максвелла-Мора:

Визначений інтеграл береться для окремих стержнів чи ділянок епюр, на яких функції, що перемножуються, не мають зломів, а жорсткості змінюються монотонно (чи постійні).

Обчислення переміщень зручно робити за допомогою правила Верещагіна (рис. А)

де ωiK – площа епюри M i на ділянці з номером k;

yiK – ордината прямолінійної епюри, яка береться під центром ваги даної ділянки «К» епюри Mi .

~ 24 ~

Методичні вказівки

Якщо обидві епюри, що перемножуються, прямолінійні, то не має значення, в якій з них взята площа, а в якій – ордината.

Якщо обидві епюри, що перемножуються, розташовані по одну сторону від осі стержня, результат перемножування береться зі знаком «+», якщо по різні – зі знаком «-».

Якщо в межах ділянки «К» обидві епюри Mi і M j прямолінійні, то

відповідну складову переміщення можна обчислити за формулою трапецій

(рис. Б).

Приведені формули також придатні у випадку знакозмінних епюр, потрібно тільки кожну ординату підставляти в ці формули зі своїм знаком.

Переміщення в рамі остаточно повинні бути виражені через EIР або EIС, тому що жорсткості усіх стержнів рами (ригелів та стояків) неоднакові та задані тільки їх співвідношення.

~ 25 ~

Методичні вказівки

ЗАДАЧА 4. ЗНАХОДЖЕННЯ ПЕРЕМІЩЕНЬ У СТАТИЧНО ВИЗНАЧЕНОЇ ШАРНІРНО-КОНСОЛЬНІЙ БАЛЦІ.

I.Склад завдання

Для шарнірно-консольній балки з обраними по шифру розмірами та навантаженнями, треба знайти для вказаного перерізу «к» :

А) Лінійне переміщення – вертикальне переміщенняYк ; Б) Кутове переміщення – кут поворотуϕк .

II.Порядок виконання розрахунку

1.Установити ступень статичної визначеності заданої балки.

2.Побудувати поверхову схему балки.

3.Зробити розрахунок елементів поверхової схеми, побудувати епюру згинальних моментів M P від заданого навантаження. Виконати перевірку

рівноваги балки в цілому.

4. Зробити розрахунок елементів поверхової схеми, побудувати епюру згинальних моментів M1 від одиничної вертикальної сили Р = 1. Виконати перевірку рівноваги балки в цілому.

5.Перемноживши епюри M P та M1 знайти вертикальне переміщенняYк .

6.Зробити розрахунок елементів поверхової схеми, побудувати епюру згинальних моментів M2 від одиничного зосередженого моменту М = 1.

Виконати перевірку рівноваги балки в цілому.

7.Перемноживши епюри M P та M2 знайти кут поворотуϕк .

Приклад розрахунку.

Для заданої шарнірно-консольній балки (рис. 4.1а) постійної жорсткості треба знайти в перерізі «к» вертикальне переміщення Yк та кутове переміщення

– кут поворотуϕк .

1. Знайдемо ступень статичної визначеності заданої балки за допомогою

формули Чебишева

W = 3 × Д - 2 × Ш - С0 = 3 × 2 - 2 ×1 - 4 = 0 , W=0 свідчить про те, що балка є статично визначеною.

2. Будуємо поверхову схему (рис.4.1б). На першому етапі аналітичного розрахунку будемо розглядати допоміжну балку АС. На другому етапі аналітичного розрахунку розглянемо основну балку ВD (беремо до уваги як власне навантаження, так і вплив вище розташованої допоміжної балки).

~ 26 ~

Методичні вказівки

Рис.4.1

Частина А. Визначення вертикального переміщення.

Для визначення вертикального переміщення в перерізі «к» необхідно розглянути два стана системи: дійсний стан від заданого навантаження (рис. 4.1а) та допоміжний стан з прикладеною у напрямі переміщення, яке необхідно знайти, вертикальною одиничною силою Р1 = 1(рис. 4.2а).

3. Будуємо епюру згинальних моментів M P першого стану. Остаточна епюра згинальних моментів M P зображена на рис.4.1в (детальніше аналітичний розрахунок багато пролітної статично визначеної балки було розглянуто у РПР №1).

Перевірка рівноваги балки в цілому:

∑Y = VA +VB +VD - q1 × 2 - q1 ×6 - F1 - F2 =

= 16.67 + 42.78 + 70.56 -10 - 90 -10 - 20 = 0.

Похибка дорівнює нулю.

4. Будуємо епюру згинальних моментів M 1 другого стану (рис. 4.2б). Перевірка рівноваги балки в цілому:

Похибка дорівнює нулю.

~ 27 ~

Методичні вказівки

Ділянки AF таFВ. Так як на цих ділянках прямолінійні епюри M P таM 1 мають складний вигляд, і потребують для подальшого використання правила Верещагіна розкладання на прости епюри (додаток 3) з метою визначення положення центра ваги та площі кожної з них, будемо використовувати формулу трапецій:

Ділянка BD. Так як на цій ділянці криволінійна епюра M P та прямолінійна епюраM 1 також мають складний вигляд, і потребують для подальшого використання правила Верещагіна розкладання на прости епюри, будемо використовувати формулу Сімпсона:

Ділянка DЕ. Так як на цій ділянці епюриM 1 згинальні моменти дорівнюють «нулю», то згідно правила Верещагіна маємо: DD1PЕ = 0 .

Остаточно маємо вертикальне переміщення Yк :

Оскільки результат додатний, точка «К» переміститься в напрямі дії одиничної сили.

Частина Б. Визначення кутового переміщення.

6. Для визначення кутового переміщення в перерізі «к» необхідно розглянути допоміжний стан системи з прикладеним в перерізі «к» у довільному напрямі зосередженим одиничним моментом М1 = 1(рис.4.3а). Остаточна епюра згинальних моментів M 2 зображена на рис.4.3б.

Перевірка рівноваги балки в цілому:

∑Y = VA +VB + VD = -0.167 + 0.223 - 0.056 = 0.

Похибка дорівнює нулю.

7. Розіб’ємо балку на 5 ділянок (KA, AF, FB, BD, DE) на яких згинальні моменти M P та M 2 не мають зломів.

∑5 1 l

ϕк = D2 P = k =1 EI ∫0 M 2M P dx = DKA2 P + DAF2 P + DFB2 P + DBD2 P + DDE2P .

Ділянка KA. Так як на цій ділянці епюриM 2 згинальні моменти дорівнюють «нулю», то згідно правила Верещагіна маємо DKA2P = 0 .

Ділянки AF таFВ. Так як на цих ділянках прямолінійна епюра M P має складний вигляд, будемо використовувати формулу трапецій:

~ 29 ~