МУ ОМ та буд.механіка для водних ресурсів 2012
.pdf
Методичні вказівки
Характерні ординати ліній впливу визначаємо з подібних трикутників, отриманих на лініях впливу, знаючи ключові ординати на базових фрагментах ліній впливу та розміри усіх ділянок багатопрольотної балки.
Лінії впливу показані на рис.1.2.
Завантажимо лінії впливу реакцій опор та внутрішніх силових факторів силою Р=25 kH та розподіленим навантаженням інтенсивністю q=16 kH/м. Таким чином отримуємо:
VA = 25 × 0.5 = 12.5 kH;
VB = 25 × 0,67 +16 × (-0,5 × 6,6 × 0,67) = 16,67 - 35,2 = -18,626 kH; QC.ПР = 16 × (0,5 × 6,6 ×1) = 52,8 kH;
QК = 25 × 0,17 + 16 × (-0,5 × 6,6 × 0,67) = 4,165 - 35,2 = -31,03 kH;
МC .ПР = 16 × (-0,5 × 6,6 × 4,4) = -232,32 kHм;
МК = 25 × (-0,55) + 16 × (-0,5 × 6,6 × 2,2) = -13,75 -116,16 = -129,91 kHм.
Порівняння результатів розрахунку
Таблиця 1
Зусилля |
Спосіб розрахунку |
Розбіжність |
|
По лініям впливу |
Аналітичний |
% |
|
VA |
12,5 |
12,5 |
0 |
VB |
-18,53 |
-18,53 |
0 |
QC.ПР |
52,8 |
52,8 |
0 |
QК |
-31,03 |
-31,03 |
0 |
МC.ПР |
-232,32 |
-232,32 |
0 |
М К |
-129,91 |
-129,9 |
0 |
Контрольні запитання
1.Як визначити ступінь свободи багатопрольотної балки?
2.Що таке поверхова схема?
3.Які балки в складі багатопрольотної вважаються головними?
4.Що таке лінія впливу?
5.Що показує ордината лінії впливу?
6.Яка розмірність ординат ліній впливу поперечної сили?
7.Яка розмірність ординат ліній впливу згинального моменту?
8.Як обчислюються зусилля по лініям впливу від дії зосереджених навантажень?
9.Як обчислюються зусилля по лініям впливу від дії розподілених навантажень?
10.Яка різниця між ординатами епюри і лінії впливу внутрішніх зусиль?
~ 11 ~
Методичні вказівки
РПР №2. Розрахунок статично визначеної ферми та трьохшарнірної системи
РПР №2 містить у собі дві частини:
Задача 2. Розрахунок статично визначеної мостової ферми на дію рухомого та постійного навантажень;
Задача 3. Розрахунок трьохшарнірної системи.
Задача 2. Розрахунок статично визначеної мостової ферми на дію рухомого та постійного навантажень
І. Склад завдання
1.Визначити опорні реакції від заданого навантаження.
2.Аналітично визначити зусилля у чотирьох стержнях ферми (верхній пояс, нижній пояс, розкіс, стояк) при дії на неї системи зосереджених сил, прикладених в усіх вузлах верхнього поясу. Панель де розташовані стержні слід вибирати відповідно до варіанту завдання.
3.Побудувати чотири лінії впливу поздовжніх сил в указаних стержнях ферми, якщо одинична зосереджена сила рухається вздовж верхнього поясу ферми.
4.Зробити завантаження чотирьох лінії впливу системою зосереджених сил, обчислити значення зусиль та порівняти з аналітичними розрахунками.
ІІ. Порядок виконання розрахунку
1. Умова статичної визначеності плоскої ферми має вид:
W = 2У − (СФ + СО ) = 0
де: W – ступінь волі ферми; У – число вузлів ферми; СФ – число стержнів ферми (стержні верхнього і нижнього поясів, розкоси і стійки); СО – число опорних в’язів.
Опорні реакції в плоских балкових фермах визначаються також, як для простих балок на двох опорах.
2. Зусилля в стержнях заданої панелі ферми (рахуючи від лівої опори), визначаються одним зі способів:
а) спосіб моментних точок; б) спосіб проекцій; в) спосіб вирізання вузлів.
Досягається це проведенням перерізів – наскрізних, що відокремлюють ліву частину ферми від правої, чи замкнутих, що виділяють один з вузлів
~ 12 ~
Методичні вказівки
ферми. У більшості випадків переріз не повинний перетинати більше 3-х стержнів; його необхідно проводити через стержні, які нас цікавлять.
Вибір моментної точки для одного стержня визначається точкою перетинання напрямку двох інших стержнів з трьох, що потрапили в переріз; відносно цієї точки і необхідно скласти рівняння рівності нулю моментів однобічних від перерізу сил, з якого буде знайдене зусилля. Моментна точка не обов’язково повинна збігатися з одним із вузлів ферми; наприклад, моментна точка для стержня 3-5 (рис. 2.1а) знаходиться на перетині стержнів 1-5 і 3-6, тобто за межами ферми.
Якщо два інших стержні паралельні, то варто застосувати спосіб проекції лівих чи правих від перерізу сил на вісь, перпендикулярну до паралельних стержнів. Так визначаються зусилля в розкосах і стійках ферм із паралельними поясами.
Для визначення зусиль в одиночних додаткових стійках (коли розкоси, що розташовані ліворуч і праворуч, примикають до одного кінця стійки), застосовується спосіб вирізання вузлів. При цьому треба вирізати вільний від розкосів вузол правої стійки панелі і скласти рівняння проекцій сил, прикладених до вузла, на вісь стійки. Якщо поясні стержні спрямовані по одній лінії, то з цього рівняння легко знайти зусилля у стійці: воно дорівнює – нулю для ненавантаженого вузла, чи вузловій силі з урахуванням знака (розтягання «+», стиск «– »), рис. 2.1в. оскільки нульовий результат занадто очевидний, у таких випадках треба знайти зусилля в лівій стійці панелі.
Якщо поясні стержні в способі вирізання вузлів спрямовані не по одній лінії, то рівняння проекцій сил для цього вузла треба скласти на вісь, перпендикулярну до того поясного стержня, зусилля в якому невідомо (зусилля
вдругому поясному стержні вузла повинне бути вже відомо), рис. 2.1г.
3.Лінії впливу опорних реакцій ферми мають такий самий вигляд, як і в простій балці. Лінії впливу зусиль у стержнях ферми визначаються з допомогою ліній впливу опорних реакцій ферми. Для цього складаються приблизно такі ж самі рівняння рівноваги, що і у попередньому пункті завдання. Однака, замість дії системі зосереджених сил використовується одинична рухома сила.
Лінії впливу зусиль у стержнях ферми складаються з правої та лівої гілок ліній впливу (рівняння котрих визначаються з розгляду рівноваги окремо взятої правої та лівої частин ферми), та з’єднувальної прямої в межах розрізаної панелі ферми.
4.Знаходження реакцій опор та зусиль у стержнях ферми по лініям
впливу виконується за формулою
S = ∑ P × y ,
де: y - ординати лінії впливу під відповідними зосередженими силами.
~ 13 ~
Методичні вказівки
ІІІ. Приклад розрахунку
Потрібно знайти зусилля в стержнях третьої панелі ферми, зображеної на рис. 2.1а.
а) |
y |
|
P=40кН |
|
P=60кН |
P=15кН |
|
|
|
|
|
2 |
I |
3 |
4 |
|
|
|
|
||
|
P=30кН |
III |
1 III |
2 |
7 |
P=90кН |
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
2м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4м |
|
|
|
|
|
|
|
|
6м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
B |
x |
|
6 |
|
3 |
|
4 |
8 |
|
|
|
|
|
|
d=6м |
I |
II |
II |
|
|
|
|
|
|
V =101,7кН |
|
|
|
|
|
|
|
V =133,3кН |
|
|
A |
|
|
|
36м |
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
y |
|
P=40кН |
|
|
в) |
|
N4-2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
P=30кН |
|
1 |
|
N1-2 2 |
|
N4-3 |
|
N4-8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2м |
|
β |
|
α |
|
4 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4м |
|
|
|
N3-2 |
г) |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
P=40кН |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
A |
|
|
|
N3-4 |
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
β |
1 |
N1-2 |
|
|||
|
6 |
|
3 |
|
4 |
|
|
|||
|
|
|
|
N1-5 |
|
|
|
|||
|
|
d=6м |
|
|
|
|
|
|
||
V =101,7кН |
|
A |
N1-3 |
|
Рис. 2.1
Ступінь волі ферми:
W= 2У - (СФ + СО ) = 2 ×12 - (21 + 3) = 0 – ферма статично визначена.
1.З рівняння статики ∑mB = 0 і ∑mА = 0 знаходимо опорні реакції:
∑mB = 0 ; VA × 36 - 30 × 30 - 40 × 24 - 60 ×18 -15 ×12 - 90 ×6 = 0
VA = 30 × 30 + 40 × 24 + 60 ×18 +15 ×12 + 90 × 6 = 101,7 кН; 36
∑mA = 0 ; -VA × 36 + 30 ×6 + 40 ×12 + 60 ×18 +15 × 24 + 90 × 30 = 0
VB = 30 ×6 + 40 ×12 + 60 ×18 +15 × 24 + 90 ×30 = 133,3 кН. 36
Перевірка:
∑Y = 0 ; 101, 7 − 30 − 40 − 60 − 15 − 90 + 133, 3 = 235 − 235 = 0
2.Для визначення поздовжніх сил у стержнях 1-2, 2-3 і 3-4 застосовуємо метод наскрізних перерізів, провівши переріз І-І через ці три стержні (рис.
~14 ~
Методичні вказівки
2.1б). Зусилля N1−2 і N3−4 визначаємо способом моментних точок для лівосторонніх від перерізу сил.
Стержень 1-2 (моментна точка 3):
∑mл.с. = 0 ; 101, 7 × 2 ×6 - 30 ×6 + N − ×6 = 0
3 1 2
N1−2 = −1220 + 180 = -173, 4 кН (стержень стиснутий).
6
Стержень 3-4 (моментна точка 2):
∑mл.с. = 0 ; 101, 7 × 3 ×6 - 30 × 2 ×6 - 40 ×6 - N − ×6 = 0
2 3 4
N3−4 = 1831 − 360 − 240 = 205 кН (стержень розтягнутий).
6
Стержень 2-3 Зусилля визначається способом проекцій, тому що стержні 1-2 і 3-4
паралельні, і стержень 2-3 моментної точки не має:
∑Yл.с. = 0 ; 101, 7 - 30 - 40 + N2−3 ×cos a = 0
tga = 6 = 1; a = 45O ; cos α = 0, 7071;
6
N2−3 = −101, 7 + 30 + 40 = -44, 8 кН (стержень стиснутий).
0, 7071
Стержень 2-4 Вирізуємо вузол 4 ферми за допомогою перетину ІІ-ІІ. З рівняння
∑Y = 0 випливає, що N2−4 = 0 (рис. 2.1в). За умовою РПР у цьому випадку
треба знайти зусилля в лівій стойці заданої панелі.
Вирізуємо вузол 1 замкнутий перерізом ІІІ-ІІІ і розглядаємо його рівновагу:
Стержень 1-3 (рис. 2.1г). для вузла 1
∑n = 0 ; -P2 cosb - N1−3 ×cosb - N1−2 ×sinb = 0 ;
N |
1−3 |
= |
P2 cosb + N1−2 × sinb |
= -P - N |
1−2 |
× tgb . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
cosb |
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tgβ = 0, 333 (рис. 2.1а); |
|
|
|
|
|
||||
зусилля N1−2 = -173, 4 кН (визначено раніше). |
|
|
|||||||
N1−3 = 40 - (-173, 4) ×0, 333 = 17, 8 кН (стержень розтягнутий). |
|
||||||||
3. |
Побудуємо лінії впливу |
поздовжніх сил N1−2 , |
N3− 4 , N2−3 , |
N1−3 . |
|||||
Проводимо перетин І-І (рис. 2.2а). Лінії впливу зусиль |
N1−2 , N3− 4 будимо |
||||||||
визначати за допомогою способу моментної точки, а |
зусилля N2−3 |
– за |
|||||||
допомогою способу проекцій. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Лінії впливу опорних реакцій |
VA та VB мають такий самий вигляд, |
||||||
як і в простій балці (рис. 2.2б). |
|
|
|
|
|
||||
~ 15 ~
Методичні вказівки
Рис.2.2
~ 16 ~
Методичні вказівки
Лінія впливу зусилля N1−2 |
(моментна точка 3) |
|||
Сила P = 1 знаходиться ліворуч від розрізаної панелі |
|
|
||
∑ m3пр = -N1−2 × h -VB × 4d = 0 ; |
N1− 2 = - 4d |
×VB |
= - 24 |
×VB = -4 ×VB ; |
|
h |
|
6 |
|
N1− 2 = -4 ×VB |
- рівняння лівої гілки лінії впливу. |
|||
Сила P = 1 знаходиться праворуч від розрізаної панелі |
|
|
||
∑ m3л = N1−2 × h +VА × 2d = 0 ; |
N1− 2 = - 2d |
×VА |
= -12 |
×VА = -2 ×VА ; |
|
h |
|
6 |
|
N1− 2 = -2 ×VА |
- рівняння правої гілки лінії впливу. |
|||
Ліва та права гілки лінії впливу перетинаються під моментною точкою 3. Ліва гілка дійсна ліворуч від розрізаної панелі 1-2, тобто ліворуч від вузла 1, права – праворуч від вузла 2. Ординати під вузлами 1 та 2 з’єднуємо прямою. У цьому випадку з’єднувальна пряма співпадає з правою гілкою впливу. Лінія впливу N1−2 зображено на рис.2.2в.
Сила P = 1 |
Лінія впливу зусилля N3− 4 (моментна точка 2) |
||||||
знаходиться ліворуч від розрізаної панелі |
|
|
|
||||
∑ m2пр = N3− 4 × h -VB ×3d = 0 ; |
N3− 4 = 3d |
×VВ =18 |
6 |
×VВ = 3 ×VB ; |
|||
|
|
h |
|
|
|
|
|
Сила P = 1 |
N3− 4 = 3 ×VB |
- рівняння лівої гілки лінії впливу. |
|||||
знаходиться праворуч від розрізаної панелі |
|
|
|
||||
∑ m2л = -N3− 4 × h +VА ×3d = 0 ; |
N3− 4 = 3d |
×VА = |
18 |
×VА = 3 ×VА ; |
|||
|
|
|
h |
|
|
6 |
|
|
N3− 4 = 3 ×VА |
- рівняння правої гілки лінії впливу. |
|||||
Ліва та права гілки лінії впливу перетинаються під моментною точкою 2. Ліва гілка дійсна ліворуч від розрізаної панелі 1-2, тобто ліворуч від вузла 1, права – праворуч від вузла 2. Ординати під вузлами 1 та 2 з’єднуємо прямою. У цьому випадку з’єднувальна пряма співпадає з лівою гілкою впливу. Лінія впливу N3− 4 зображено на рис.2.2г.
Лінія впливу зусилля N2−3
Сила P = 1 знаходиться ліворуч від розрізаної панелі
∑ yпр = -N2−3 × cosα +VB = 0 ; N2−3 = 1cosα ×VВ = 10,7071×VВ =1,414 ×VB ;
N2−3 = 1,414 ×VB - рівняння лівої гілки лінії впливу. Сила P = 1 знаходиться праворуч від розрізаної панелі
∑ y л = N2−3 × cosα +VA = 0 ; N2−3 = - 1cosα ×VA = - 10,7071×VA = -1,414 ×VA ;
N2−3 = -1,414 ×VA - рівняння правої гілки лінії впливу.
Ліва та права гілки лінії впливу паралельні, оскільки паралельні пояси ферми. Ліва гілка дійсна ліворуч від розрізаної панелі 1-2, тобто ліворуч від вузла 1, права – праворуч від вузла 2. З’єднувальна пряма розташована між вузлами 1 і 2, та не співпадає з напрямками правої та лівої гілок впливу
(рис.2.2д).
~ 17 ~
Методичні вказівки
Лінія впливу зусилля N1−3 .
Проводимо наскрізний перетин ІІІ-ІІІ (рис. 2.1а). Лінію впливу зусилля N1−3 визначаємо за допомогою способу проекцій розглядаючи рівновагу вузла 1 (рис. 2.1г).
Коли рухома сила P = 1 розташована в вузлі 1, то
∑ n = -N1−3 × cos β - N1−2 ×sin β - P × cos β = 0 ;
N1−3 = - |
(N1− 2 ×sin β + cos β ) |
= -N1− 2 |
×tgβ -1 = -0,333 × N1− 2 -1; |
|||||
cos β |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При всіх інших положеннях сили P = 1 |
|
|
|
|
||||
∑ n = -N1−3 × cos β - N1−2 ×sin β = 0 ; N1−3 |
= - |
N1− 2 ×sin β |
= -N1− 2 ×tgβ = -0,333 × N1− 2 ; |
|||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
cos β |
|
|
|
Ордината лінії впливу під вузлом 1 має значення |
N1−3 = -0,333 × N1−2 -1 . |
|||||||
Усі інші ординати лінії впливу мають значення - N1−3 = -0,333 × N1−2 . Ординати під вузлами 1, 5 та 1, 2 з’єднуємо прямими (рис.2.2е).
4. Завантажуємо лінії впливу N1−2 , N3−4 , N2−3 , N1−3 системою заданих зосереджених сил та підрахуємо значення поздовжніх сил:
N1−2 = 30 × (-0,667) + 40 ×(-1,333) + 60 ×(-1) +15 ×(-0,667) + 90 ×(-0,333) = -173,4 kH; N3−4 = 30 ×0,5 + 40 ×1 + 60 ×1,5 +15 ×1 + 90 ×0,5 = 205 kH;
N2−3 = 30 ×0,236 + 40 ×0,471+ 60 ×(-0,707) +15 ×(-0,471) + 90 × (-0,236) = -44,8 kH;
N1−3 = 30 ×0,222 + 40 ×(-0,556) + 60 ×0.333 +15 ×0,222 + 90 × 0,111 =17,8 kH.
Порівняння результатів розрахунку
|
|
|
Таблиця 2 |
|
Зусилля |
Спосіб розрахунку |
Розбіжність |
|
|
По лініям впливу |
Аналітичний |
% |
|
|
|
|
|||
N1−2 |
-173,4 |
-173,4 |
0 |
|
N3−4 |
205 |
205 |
0 |
|
N2−3 |
-44,8 |
-44,8 |
0 |
|
N1−3 |
17,8 |
17,8 |
0 |
|
Контрольні запитання
1.Які особливості роботи елементів ферми Ви знаєте?
2.Які способи визначення зусиль в стержнях ферм Ви знаєте?
3.Назвіть особливості побудови ліній впливу зусиль в стержнях ферм.
4.Як провести завантаження ліній впливу системою зосереджених сил?
5.В яких межах ферми проводиться з’єднувальна пряма на лінії впливу повздовжнього зусилля?
6.Як взаємно розташовані ліва та права гілки лінії впливу повздовжнього зусилля у розкосі ферми з паралельними поясами?
~18 ~
Методичні вказівки
Задача 3. Розрахунок трьохшарнірної системи
І. Склад завдання
1.Визначити опорні реакції в трьохшарнірній арці чи рамі від заданого навантаження.
2.Обчислити зусилля MK , QK і NK у 2-х характерних перерізах «к», узявши їх на відстані а та 4а від лівої опори.
ІІ Порядок виконання розрахунку
Трьохшарнірні системи є статично визначеними, тому що ступінь волі
такої системи
W = 3Д - 2Ш- СО = 3 × 2 - 2 ×1 - 4 = 0
Вертикальні складові опорних реакцій трьохшарнірної системи визначаються так само, як у простих балках, з рівнянь ∑mA = 0 і ∑mB = 0 .
Крім вертикальних, у трьохшарнірних системах виникають горизонтальні складові опорних реакцій (розпір). Величина розпору знаходиться з умов
∑mCпр = 0 |
або |
∑mCлів = 0 в ключовому шарнірі С. |
|
|||
З цієї умови при дії вертикального навантаження може бути отримана |
||||||
формула |
|
|
|
|
|
|
|
|
H = |
M0 |
|
|
|
|
|
C |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де f – |
|
|
f |
|
|
|
стріла підйому трьохшарнірної системи. |
|
|
||||
Практично для розрахунку трьохшарнірних систем корисно будувати так |
||||||
звані «балкові» |
епюри M0 і Q0 . Величина M0 |
береться з епюри M0 |
для |
|||
|
|
|
|
C |
|
|
перерізу «С» еквівалентної балки під ключовим шарніром С трьохшарнірної системи.
Для довільного перерізу «К» трьохшарнірної системи внутрішні зусилля визначаються за формулами:
MK = M0K - H × yK ;
QK = Q0K cos aK - H × sin aK ;
NK = -(Q0K sin aK + H ×cos aK ) , де:
- M0K , Q0K – балкові згинальний момент і перерізуючи сила в перерізі «К» еквівалентної балки;
- yK – відстань від горизонтальної вісі опор трьохшарнірної системи до перерізу «К»;
~ 19 ~
Методичні вказівки
- aK – кут між дотичною до вісі трьохшарнірної системи у перерізі «К» і
горизонтальною віссю x (для лівої половини він |
додатний, для |
правої – |
від’ємний). |
|
|
ІІІ Приклад розрахунку |
|
|
Потрібно обчислити зусилля MK , QK і NK |
у 2-х перерізах |
«к» для |
трьохшарнірної системи, зображеної на рис. 1.3а., узявши їх на відстані а та 4а від лівої опори.
Еквівалентна балка показана на рис. 1.3б. Знаходження вертикальних реакцій:
∑mB = 0 ; VA ×15 -130 ×12, 5 -140 ×10 -130 ×7, 5 = 0 ;
VA = 130 ×12, 5 +140 ×10 +130 ×7, 5 = 266, 7 кН;
15
∑mA = 0 ; -VB ×15 +130 × 2, 5 +140 ×5 +130 ×7, 5 = 0 ;
VB = 130 × 2, 5 +140 ×5 +130 ×7, 5 = 133, 3 кН.
15
Перевірка знайдених вертикальних реакцій:
∑Y = 0 ; 266, 7 − 130 − 140 − 130 + 133, 3 = 0
Балкові епюри M0K , і Q0K , побудовані по правилам опору матеріалів, представлені на рис. 1.3в. Величина розпору:
H = M0C = 1000 = 200 кН. f 5
Для визначення зусиль M, Q, N у перерізах трьохшарнірної системи необхідно попередньо визначити геометричні характеристики системи.
Криволінійна частина системи обкреслена по параболі:
y = 4c (l - x ) x . l 2
Тоді величина yK для довільного перетину «к»:
y |
|
= |
4c |
(l - x |
|
) x |
|
. |
|
K |
l 2 |
K |
K |
||||||
|
|
|
|
|
Тангенс кута нахилу дотичної до криволінійної осі системи:
tga |
|
= y¢ |
= |
4c |
(l - 2 x |
|
) . |
|
l 2 |
|
|||||
|
K |
K |
|
|
K |
|
Знаючи tgα K , знаходимо кут α K , а далі значення cosα K та sinα K . Визначаємо зусилля MK , QK і NK за формулами
MK = M0K - H × yK ;
QK = Q0K cos aK - H × sin aK ;
~ 20 ~