- •Одесский национальный медицинский университет
- •1.Тема: “Дифференциальные уравнения”.
- •2. Актуальность темы.
- •3. Целые занятия.
- •4. Пути реализации целей занятия:
- •6. Информацию для упрочения исходных знаний-умений можно найти в пособиях:
- •7. Содержание учебного материала из данной темы с выделением основных узловых вопросов.
- •8. Задача для самостоятельной подготовки студентов.
- •8.2 Основная литература
- •8.3 Дополнительная литература
4. Пути реализации целей занятия:
Для реализации целей занятия Вам необходимые такие исходные знания:
Определение первоначальной функции
Определение неопределенного интегралу
Определение определенного интегралу
Линейные свойства интеграла.
Геометрическое содержание неопределенного интеграла.
Основные неопределенные интегралы.
Метод замены сменной.
Определенный интеграл и его геометрическое содержание.
Формула Ньютона-Лейбніца.
Среднее значение функции.
5. Задача для проверки студентами своего исходного уровня знаний.
. (Правильный ответ )
(Правильный ответ )
. (Правильный ответ )
. (Правильный ответ .)
. (Правильный ответ .)
. (Правильный ответ )
6. Информацию для упрочения исходных знаний-умений можно найти в пособиях:
Жуматій П.Г. Сеницька Я.Р. Элементы высшей математики. Методические указания для студентов медицинского інститута. Одесса, 1981.
Жуматій П.Г. “ Основы интегрального исчисления”. Одесса, 2009.
Жуматій П.Г. “Математическая обработка медико-биологических данных. Задачи и примеры”. Одесса, 2009.
7. Содержание учебного материала из данной темы с выделением основных узловых вопросов.
Уравнение, в которые неизвестные функции входят под знаком производной или дифференциала называются дифференциальными уравнениями.
Если в дифференциальном уравнении неизвестные функции являются функциями одной сменной, то это обычное дифференциальное уравнение.
Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной или дифференциала, который входит у уравнения.
Общим решением дифференциального уравнения порядка n называется функция
,
которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождественность; кiлькiсть произвольных постоянных определяется порядком уравнения.
Частинним решением дифференциального уравнения называется функция, полученная из общего решения при фиксированных значениях произвольных постоянных.
С геометрической точки зрения общее решение представляет собой семью кривих, а частинний решение отдельную кривую этой семьи.
Дифференциальное уравнение с розділяючимися сменными имеет вид
.
Для розв'зання этих уравнений необходимо:
разділити сменные;
найти общее решение;
найти частинний решение, соответствующее начальным условиям.
Дифференциальные уравнения, в которых неизвестные функции являются функциями больше чем одной сменной, называются дифференциальными уравнениями у частинних производных. Рассмотрим несколько примеров применения дифференциальных уравнений у частинних производных в медицине и биологии.
Пример 1.
Уравнение Юнга-Кортевега
описывает процесс распространения пульсовой волны по аорте и артериям при выброса крови из левого шлуночка в период систолы. Скорость распространения v пульсовой волны равняется
,
где E - модуль упругости стенки сосуды, h - диаметр сосуды, - плотность крови.
Уравнение Юнга-Кортевега - дифференциальное уравнение у частинних производных второго порядка, поскольку у него входят вторые частинні производные змінення радиуса сосуды при расширении по времени t и координатой x.
Пример 2.
Уравнение
описывает распространение по нервному волокну біопотенціалу действия V. В этом уравнении и- удельные опіри аксоплазми и вещества мембраны нерва,иl - электроемкость единицы площади и толщина мембраны, а r - радиус нервного волокна. В это уравнение входят біопотенціал действия V и его первые и вторые частинні производные, поэтому и в этом случае мы имеем дело с дифференциальным уравнением у частинних производных второго порядка.
Пример 3.
Математическая модель динамики зажигательного процесса инфекционной етіології описывается уравнениям
где n - численность популяции патогенных микроорганизмов, - коэффициент диффузии инфекционных агентов, - коэффициент, который определяет относительную скорость размножения инфекционных агентов, - коэффициент иммунной активности, которая характеризует смертность инфекционных агентов. У уравнения входят численность n популяции патогенных микроорганизмов и ее первые и вторые частинні производные, итак, это также дифференциальное уравнение у частинних производных второго порядка.
Пример 4.
В модели Роутона рассматривается нестационарная диффузия кислорода в плоский пласта гемоглобина с учетом кинетики оксигенації гемоглобина. Соответствующее уравнение имеет вид
.
где , p и - коэффициент диффузии, парциальная давка и розчинюваність кислорода, k и y - постоянные скорости реакции оксигенації и концентрация гемоглобина. Это дифференциальное уравнение у частинних производных второго порядка.
Пример 5.
Распределение частоты мутантного гену определяется решением дифференциального уравнения у частинних производных второго порядка
,
где k - коэффициент диффузии, m - коэффициент, который характеризует степень селективного преимущества доминантного гену.