5. Транспортна задача з фіксованими доплатами

Вона відрізняється від звичайної ТЗ тим, що витрати на перевезення однорідного вантажу з пункту в пунктвизначають так:

де витрати на перевезення одиниці вантажу;_j фіксована доплата за оренду транспортних засобів.

Із такими припущеннями функція сумарних витрат має розриви, що значно ускладнює її мінімізацію. Тому вводять додаткові бінарні змінні (що набувають лише двох значень: або), які дають змогу усунути розриви функції витрат і звести початкову задачу до частково цілочислової. Так називають задачі, у яких умову цілочисловості накладено лише на частину змінних. Якщо ж змінні задачі можуть набувати лише скінченної кількості значень(не обов’язково цілих), то виникають задачідискретного програмування.

Зазначені задачі поділяють на такі класи:

1) із неподільностями (про рюкзак, вибір транспортних засобів);

2) екстремальні комбінаторні (про призначення, про комівояжера);

3) із розривними цільовими функціями (транспортна з фіксованими доплатами).

Узагальнюючи наведені приклади, можна отримати таку модель задачі цілочислового програмування: максимізувати

за умов

Наведена модель відрізняється від звичайної ЗЛП лише умовою цілочисловості, накладеною на змінні . Однак ця умова спричиняє принципову складність розв’язання задач цілочислового програмування. Це пов’язано з тим, що в більшості випадків неможливо замінити дискретну задачу її неперервним аналогом звичайною ЗЛП, розв’язок якої можна було б округлити до цілих значень.

6. Методи відтинання.

Ідея методів відтинання така. Спочатку розв’язують допоміжну ЗЛП, отриману з цілочислової задачі відкиданням умови цілочисловості. Якщо розв’язок допоміжної задачі цілочисловий, то це також розв’язок початкової (цілочислової) задачі. Якщо оптимальний розв’язок допоміжної задачі не цілочисловий, то до розв’язаної ЗЛП додають нове лінійне обмеження: воно задовольняє цілочисловим розв’язкам початкової задачі, але не задовольняє отриманому не цілочисловому розв’язку допоміжної ЗЛП. Таке додаткове лінійне обмеження визначає якусь відтинальну площину й називається правильним відтином. Нові правильні відтини додають до початкової допоміжної ЗЛП доти, доки на якомусь кроці не буде отримано розв’язок допоміжної задачі, який, очевидно, являє собою розв’язок початкової цілочислової ЗЛП.

Один із методів відтинання – метод Гоморі. Його процедура така. Нехай потрібно розв’язати задачу цілочислового програмування

(3.1)

де – цілочисловий вектор з невід’ємними координатами.

Разом із нею розглядають допоміжну ЗЛП

(3.2)

отриману з початкової задачі відкиданням умови цілочисловості змінних.

Задачу (3.2) розв’язують симплекс-методом. На останній ітерації обмеження задачі набирають вигляду

Як відомо, оптимальний розв’язок задачі (3.2) це вектор . Нехай – якась неціла його компонента(якщо ж усі компоненти цілі, то це оптимальний розв’язок цілочислової задачі (3.1)).

Позначимо як івідповідно цілу та дробову частини числа. Якщо числонеціле, то.

Згідно із загальною ідеєю методу відтинання, потрібно перейти до нової допоміжної ЗЛП, яка крім початкових обмежень містить додаткове обмеження, що реалізує правильний відтин. Розглянемо обмеження

яке відповідає такому , що. Правдиве таке твердження.

Теорема 3.1. Додаткове лінійне обмеження (3.3) – правильний відтин для задачі цілочислового ЛП (3.1).

Доведено, що це обмеження не виконується для будь-якого не цілочислового базисного плану , але виконується для його цілих значень. Для реалізації правильного відтину до системи обмежень, отриманої на останній ітерації, додають умову

де – додаткова змінна, завдяки якій нерівність перетворюється в строгу рівність. У цільовій функції їй відповідає нульовий коефіцієнт. Таблиця при цьому розширюється на один рядок і один стовпець. Для розв’язання цієї задачі застосовують двоїстий симплекс-метод.

Оскільки в початковому псевдоплані новоутвореної задачі тільки одна від’ємна компонента, то з базису слід вивести вектор, що відповідає цій компоненті, тобто . Рядок, що відповідає цій базисній змінній, провідний. Для визначення змінної, яку слід увести до базису, обчислюють значення, де, і записують їх в останньому рядку таблиці. Провідному стовпцю відповідає найменше додатне значення. Провідним елементом таблиці буде той, що стоїть на перетині провідного рядка та провідного стовпця.

Зауваження. Поза як за означенням дробова частина числа це відстань до найближчого цілого числа, що лежить на числовій осі лівіше даного, то більша нуля, як для додатних, так і для від’ємних значень . Наприклад, . Тому провідний елемент також завжди від’ємний.

Процедуру зміни базису зазвичай виконують методом виключення Жордана Гаусса. Якщо отриманий оптимальний розв’язок виявиться цілочисловим, то обчислення закінчують, а не то знову проводять правильне відтинання.

Двоїстий симплекс-метод це основа методу Гоморі, бо він дає змогу враховувати додаткові обмеження (правильні відтини) і переходити від поточного псевдо плану до нового оптимального плану.

Доведено, що наведений алгоритм скінченний. Це означає, що на якомусь кроці (ітерації) буде знайдено цілочисловий план або виявлено, що допустимих цілочислових планів для даної задачі не існує.

Зауваження. Виконуючи розрахунки на комп’ютері, слід зважати на похибки округлення, тому що внаслідок особистостей машинної арифметики жоден план не може бути цілочисловим. Крім того, на громадження похибок може порушити порядок обчислень і взагалі відвести від оптимального розв’язку початкової задачі.