ФИЗИКА (лекции часть 1) - Электромагнетизм

2.3,а Движение заряженных частиц в электрическом поле

В электронно-лучевых трубках для управления электронным потоком использоваться отклоняющая система в виде двух параллельных пластин(рис. 2.11), на которые подается управляющее напряжение. Поперечное электрическое полеЕ отклоняет электронный пучок на необходимый угол j, в зависимости от управляющего напряжения U.

На электрон, движущийся со скоростью u перпендикулярно направлению однородного электрического поля, действует отклоняющая электростатическая силаF=qE. Если выбрать ось Y вдоль направления силыF, а ось X вдоль направления скоростиu (рис. 2.11), то из уравнения движения (1.21) получаем проекции ускорения

заряженных частиц. Рассмотрим два металлических цилиндра(рис. 2.12), между которыми

(электроны отрицательны и движутся навстречу направлению E ). Нетрудно определить, что верхняя часть потока электронов также отклоняется к оси цилиндра. Таким образом, проходя левую часть зазора (относительно его середины), электроны отклоняются к оси цилиндра, т.е.

фокусируется узкий пучок. В правой части зазора эквипотенциальные поверхности выгнуты

41

в обратную сторону, и происходит расфокусировка. Однако поскольку левую часть электроны проходят медленнее, чем правую (электроны ускоряются в зазоре), преобладает эффект фокусировки. Такая система используется в качестве электростатической линзы.

2.3,б Сила Лоренца

Электрический ток представляет собой поток движущихся заряженных частиц н который в магнитном поле действует сила, определяемая (2.2) и (2.3). Как показано в 2.1.б,

для потока заряженных частиц, образующих ток i длиной l справедливо соотношение il = qVN, откуда сила, действующая на прямолинейно движущийся в магнитном поле поток изN частиц, равна

F = qN[V ´ B],

не зависит от скорости частицы, а определяется только индукцией магнитного поля. Угловая скорость (1.13)

wc = 2p / T = qB / m

называется циклотронной частотой.

Если частица влетает в однородное магнитное полепод углом a к магнитному полю B (рис. 2.15), то ее скорость V можно разложить на две составляющиеV^=Vsina и V||=Vcosa. Движение со скоростью V^, как показано выше, есть движение по окружности. Сила Лоренца

42

Интересно отметить, что если две частицы влетают в магнитное поле под одинаковым

силе Лоренца qEx = qVB, дальнейшее разделение зарядов прекратится. При таком равновесии поток зарядов движется через пластину не отклоняясь. Разность потенциалов между верхней и нижней гранью пластины равна

металлическим зондам. Явление возникновения поперечной ЭДС в проводнике, помещенном в магнитное поле, называется эффектом Холла, а UX – соответственно напряжением Холла. Подставив в (2.29) значение скорости, определенное из формулы для тока через пластину i = jS = qVnS = qVndb, получим

Рисунок 2.16 - Эффект Холла в дырочном а) и электронном б) полупроводниках

где n – концентрация подвижных зарядов (по определению концентрация – это

43

число частиц в единице объема [n]=1/м2).

Если ток через пластину образован отрицательными зарядами, например электронами

(рис. 2.16, б), то при том же направлении магнитного поляB и тока i сила Лоренца будет отклонять электроны также к верхней грани. Это обусловлено тем, что в (2.25) и скорость электронов противоположна скорости движения положительных зарядов и знак заряда также противоположен. Таким образом знак ЭДС Холла в проводнике с отрицатель носителями заряда противоположен знаку ЭДС в проводнике с положительными носителями заряда. Поэтому эффект Холла используется на практике для определения знака носителей заряда в полупроводниках, а также их концентрации из (2.30).

При постоянном токе через пластину величина Ux определяется только индукцией магнитного поля. Поэтому датчики Холла широко применяются для измерения магнитной индукции. Они изготавливаются из полупроводников, где n – мало, а, следовательно, значение Ux велико.

2.4 ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ 2.4,а Правило Ленца

Как показано в предыдущих подразделах, электрические токи всегда создают вокруг себя магнитное поле. Фарадей открыл и обратное явление, заключающееся в том, что магнитное поле может вызывать появление электрического тока. Оно получило название электромагнитной индукции.

Рассмотрим две расположенные рядом проволочные катушки, одна из которых

согласно правилу Ленца: индукционный ток направлен таким образом, что его действие противоположно действию причин вызвавших этот ток. Это означает, например, что при уменьшении внешнего магнитного потока через неподвижный контур, в нем возникает индукционный ток, направленный таким образом, что его магнитное поле усиливает этот поток, т.е. направление внешнего магнитного поля и магнитного поля индукционного тока совпадают. Наоборот, при увеличении внешнего потока через контур направле магнитного поля индукционного тока противоположно внешнему полю.

Индукционные токи в замкнутом контуре возникают вследствие появления в нем ЭДС индукции. Анализируя результаты опытов, Максвелл установил, что величина эдс индукции пропорциональна быстроте изменения магнитного потока Ф через контур:

dt

Эта формула называется основным законом электромагнитной индукции. Знак минус в

44

45

противоположную сторону.

При включении К в катушке возникает экстраток замыкания, препятствующий возрастанию Ф, а значит направленный навстречу токуi2. Однако его направление в цепи гальванометра совпадает с током i1 и в этом случае экстраток менее заметен.

Определим ЭДС самоиндукции. Так как магнитная индукция в кат пропорциональна силе тока в ней(2.7, 2.14), а магнитный поток Ф через катушку пропорционален В (2.19), то можно записать

пропорциональна быстроте изменения силы тока (так как L не зависит от тока).

Для вычисления индуктивности любого контура необходимо найти зависимость Ф= f(i), а L определяется по (2.34), как коэффициент пропорциональности. Например, магнитный поток через один виток соленоида (2.7), (2.14), (2.19) равен

Ф1 = BS = m0HS = m0(N / l)iS.

Полный поток через все N витков

где а – радиус провода, d – расстояние между центрами проводов, l – их длина.

Опыт показывает, что индуктивность, например, соленоида, зависит от свойств среды, в которой он находится. Поскольку практически все магнитное поле сосредоточено внутри соленоида, то L зависит только от среды внутри .егоТак, вдвигая в соленоид железный сердечник, можно убедиться, что экстратоки (а значит иL) увеличиваются во много раз.

Магнитные свойства среды характеризуются магнитной проницаемостью , веще определяемой как

46

следовательно, и магнитная индукция в каждой точке поля. Поэтому формула (2.7) для среды с магнитной проницаемостью m преобразуется в

2.5 ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ. КОММУТАЦИЯ RL И RC ЦЕПЕЙ 2.5,а Энергия магнитного поля тока

Определим работу, совершаемую экстратоками самоиндукции, например при выключении тока. Работа, совершаемая за время dt, определяется как

dW = eidt = - Lidi,

где e определяется (2.35).

Так как ток уменьшается от значения i до нуля, то полная работа

включении источника тока(затрачивается на установление тока) и освобождается при его выключении. Формулу (2.41) можно записать в другом виде, сли подставить в нееL

конкретного контура. Так, для тороида или соленоида (2.37, 2.39)

L = mm0(N2/ l2)V,

где V = Sl – его объем. Поэтому

где H = Ni/ l, а w = mm0H2 / 2 – объемная плотность энергии.

Как отмечалось ранее, энергии заряженного конденсатора также пропорциональна объему между его обкладками, занятому электрическим полем,

W = CU2 /2 = wV.

Таким образом, энергия электрического и магнитного полей пропорциональна объему V, занятому полем, следовательно, в этом объеме она и сосредоточена. Энергия конденсатора

определяется статическим распределением неподвижных зарядов и соотве потенциальной энергии в механике. Энергия контура с током определяется силой тока (2.41), т.е. зависит от скорости движения зарядов, поэтому она соответствует кинетической энергии.

2.5,б Взаимная энергия двух токов

Между различными контурами существует магнитная связь. Она состоит в том, что часть линий индукции магнитного поля, создаваемого одним контуром, будет проходить через другие контуры и наоборот. Если, например, в контуре 1 (рис. 2.20), протекает ток i1, то

создаваемый им магнитный поток Фпропорционален i (2.34). Часть этого потока Ф

1 1 12

проходит через контур 2, следовательно, можно записать

47

Согласно (2.42), два первых слагаемых есть энергии магнитного поля тока контура1 и контура 2. Последнее слагаемое можно назвать взаимной энергией двух токов. Поскольку для тороида

H1 = N1i1 / l и H2 = N2i2 / l,

то

W12 = m0H1H2V = m0N1i1N2i2V / l2.

Так как W12 ~ i1i2, то, по аналогии с W (2.41), запишем

W12 = L12i1i2.

Отсюда

Соответственно, формулу (2.43) можно также представить в виде

Физический смысл взаимной энергии состоит в том, что при возбуждении тока в одном контуре его изменяющийся магнитный поток создаст индукционный ток в связанном с ним контуре, на что затрачивается дополнительная энергия.

2.5,в Запас и расход энергии электрического и магнитного полей при коммутации RL и RC цепей

48

Так как экстратоки самоиндукции препятствуют любым изменениям ,тока при включении источника тока(нижнее положение ключа на .рис2.21,а) их направление противоположно направлению тока, создаваемого источником, при этом запасается энергия магнитного поля катушки. При перекоммутации источника тока(верхнее положение ключа на рис. 2.21, а) направление экстратоков самоиндукции совпадают с первоначальным направлением тока источника,

поскольку в этом случаерасходуется запасенная энергия

магнитного поля катушки. Это приводит к замедлению

практически всех частот вплоть до сверхвысокого диапазона Рисунок 2.21 - Включение

правило Кирхгофа, можно записать

Ri = e = - Ldi /dt,

где e – ЭДС самоиндукции.

Разделив переменные и обозначив tL = L / R, получим

49

где i0 = e0 /RП .

Таким образом, при включении источника (рис. 2.22, б) сила тока возрастает от нуля

до i . Быстрота установления тока определяется той же постояннойt = L /R , но в этом

0 L П

случае ее величина меньше, так как RП > R.

Аналогичные процессы происходят при зарядке и разрядке конденсатора ч сопротивление R (рис. 2.21, б). При переключении ключа К в верхнее положение конденсатор

С качнет заряжаться, при этом запасается энергия элекетрического поля. Используя второе

Введя новую переменную u = V - e0 и обозначив tc = RПC, получаем уравнение

du = - dt , u tc

аналогичное (2.47), которое имеет то же решение (2.48). Постоянная А определяется из начальных условий: t = 0; V = 0; u = - e0, откуда А = - e0. Возвращаясь к переменной V, получаем, что напряжение на конденсаторе после включения источника возрастает от нуля(t = 0) до e0 (t = ¥) по закону

При переключении ключа К в нижнее положение(рис. 2.21, б) конденсатор начнет разряжаться, при этом расходуется запасенная энергия элекетрического поля. Из исходных уравнений для этого случая

Ri = V ; V = q /С ; i = - dq /dt

(ток течет в обратную сторону по сравнению с предыдущим случаем) получаем аналогичное (2.47) и (2.48) уравнение и его решение

du + dt = 0 , V = Aexp( - t /tc). u tc

В момент (t = 0) начала разрядки V = e0, откуда А = e0. Следовательно, при разрядке конденсатора через сопротивление R напряжение на нем уменьшается со временем по закону

V = e0exp( - t /tc). (2.53)

Так как RП > R, то процесс разрядки идет быстрее, чем процесс зарядки.

2.6 МАГНЕТИКИ 2.6,а Магнитное поле в веществе

50