ФИЗИКА (лекции часть 1) - Электромагнетизм

и величину силы, действующей на положительный заряд, помещенный в рассматриваемую

ТОЧ . 4pr 2

Как видно из (1.41), выражение для D записывается в более простом виде, чем для Е из-за отсутствия в нем множителя ee0.

Поскольку D отличается отЕ лишь постоянным множителемee0, то для изображения распределения электрического смещения в пространстве такжепользуются линиямиэлектрическогосмещения, аналогичными линиям напряженности электрического поля.

Электрическое поле называется однородным, если Е (или D) одинаково в каждой точке поля, что соответствует одинаковой густоте силовых линий. Примером этого является электрическое поле в средней части плоского конденсатора (рис. 1.12, г).

11

1.3,в Электрическое поле системы зарядов. Диполь

Принцип суперпозиции электрических полей: напряженность результирующего поля,

созданного несколькими зарядами, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в данной точке пространства:

rn r

Согласно (1.40), E = D /ee0, откуда нетрудно определить Ea и Еб.

r r

Величина p = ql называется электрическим моментом диполя, причем за направление

l (а значит и p) принято направление от отрицательного к положительному заряду(см. рис. 1.13). Выражение (1.44) можно легко получить и математическим путем, используя формулу для определения модуля суммы двух векторов (следствие теоремы косинусов):

где a – угол между векторами, т.е. в данном случае a = 2b.

Следует отметить, что электрическое поле точечного заряда убывает с расстоянием от него по закону E ~ 1 / r2, а диполя – E ~ 1 / r3, т.е. быстрее. Отсюда можно заключить, что чем из большего количества зарядов состоит система(в целом нейтральная), тем сильнее убывает значение Е с удалением от нее.

1.4 ТЕОРЕМА ОСТРОГРАДСКОГО-ГАУССА 1.4,а Поток вектора

12

Рассмотрим плоскую поверхность, помещенную в однородное электрическое поле (рис. 1.14), где n – нормаль к поверхности, а D – линии электрического смещения. Скалярное

произведение

r r

можно разбить на бесконечно малые элементыdS,

каждый из которых является плоским. Поток смещения через элемент поверхности есть dN = DndS, а полный поток в соответствии с (1.18)

В зависимости от того, с какой стороны поверхности входят линии, поток может быть как положительным (a < p /2), так и отрицательным (a > p /2).

Определим поток вектора электрического смещения чере замкнутую сферическую поверхностьS, окружающую точечный положительный заряд q (рис.1.15).

Так как для сферыS =4pr2, то, подставив в (1.46) значение

D = Dn (1.41), получим

расположении заряда q внутри ее, в том числе и при разделении его на несколько зарядов.

13

Независимость N от r следует в(1.49) из зависимости D ~ 1 / r2, поэтому если показатель степени r отличается от 2, то для таких случаев формула (1.49) неприменима.

Из формулы (1.49) следует, что размерность N такая же, как и q, т.е. кулон. Соответственно (1.46), электрическое смещение можно определить как поток смещения через единицу поверхности (Кл / м2).

1.4,б Применение теоремы Остроградского-Гаусса для вычисления электрического

поверхности выберем цилиндр (рис. 1.16,а), основания которого S перпендикулярны силовым линиям электрического поля. Поток электрического смещения выходит из цилиндр перпендикулярно через два его основания, поэтому N=2DS. Плоскость удобно характеризовать поверхностной плотностью заряда s = q / S, где S – площадь поверхности. Полный заряд внутри цилиндра q=sS, следовательно, из (1.50)

проводника равно нулю, так как если бы оно отличалось от нуля, это привело бы движению зарядов, т.е. нарушению равновесия. Поскольку линии электрического смещения выходят только в одну сторону от поверхности, то в данном случае их число в два раза больше(рис. 1.16, б), чем у плоскости (см. рис. 1.16, а).

Соответственно и D для поверхности заряженного проводника в два раза больше, чем для заряженной плоскости. Значит

DПРОВ = s.

(1.53)

Таким образом, величина D равна поверхностной плотности заряда, т.е. заряду, сместившемуся внутри проводника к поверхнос. Отсюдаи и произошел термин “электрическое смещение”.

Плоский конденсатор. Линии напряженности электрического поля, идущие от положительно заряженной пластины конденсатора(см. сплошные линии на рис. 1.12, г) и линии, идущие к отрицательно заряженной пластине(пунктирные), вне конденсатора направлены навстречу друг другу, поэтому снаружи DН = 0. Внутри конденсатора линии направлены в одну сторону и результирующееD равно суммеD полей обеих пластин. Считая, что D каждой пластины такое же, как и для заряженной плоскости, получим формулу (1.53). Для напряженности электрического поля из (1.40)

14

Шар, равномерно заряженный по объему. Выберем внутри равномерно заряженного шара радиусом R (рис. 1.17, а) замкнутую поверхность в виде сферы радиусом r1.

т.е. электрическое поле вне шара уменьшается с увеличением расстоянияr2 от центра шара. Если заряд шара не выражать через r и R, а просто оставить как q, то согласно (1.50)

Сферический конденсатор. Если на внутренней сфере (рис. 17, в) имеется заряд “+q”, то на внешней сфере возникает индуцированный заряд“-q”. Взяв в качестве замкнутой поверхности любую сферу между обкладками конденсатора, на основании теоремы

15

Остроградского-Гаусса (1.50) запишем

N = D× 4pr2 = q,

значит D опять определяется той же формулой, что и для точечного заряда(1.41) или сферы (1.56). Для напряженности электрического поля из (1.40)

электрическое поле вне любой сферической поверхности определяется так, жекак и для точечного заряда, сосредоточенного в центре сферы (1.56) или (1.41).

Равномерно заряженный полый цилиндр. Если цилиндр полый (рис. 1.18, а), то из

Между цилиндром и цилиндрическим конденсатором(рис. 1.18, б) существует такая же аналогия, как и между сферой и сферическим конденсатором. Поэтому (1.58) справедлива и для определения D между электродами цилиндрического конденсатора. Для напряженности электрического поля из (1.40)

В случае если заряды распределены равномерно по объему цилиндра с плотностьюr =

q/V, то для внутренней части цилиндра объемом V = pr2L согласно (1.50) можно записать

N = DS = D×2prL = rV = rpr2L,

откуда (для r < R ) получаем формулу

D = 0,5rr,

подобную формуле для вычисления D внутри шара (1.55). Снаружи D определяется так же, как и для полого цилиндра (1.58).

1.5. РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ 1.5,а Работа сил электрического поля

При перемещении заряда q в электрическом поле электростатические силы F = qE (1.39) совершают работу А. Если поле однородно, а траектория l прямолинейна, то согласно (1.27):

16

где El =Ecosa – проекция вектора E на направление траектории l.

Эта работа положительна, когда направление перемещения положительного заряда совпадает с направлением силовой линии Е.

Вобщем случае, когда траектория криволинейна или когда Е меняется от одной точки

кдругой, на бесконечно малом (элементарном) участке dl траектории (рис. 1.19) в пределах которого Е можно считать постоянным совершается элементарная работа

Работа внешних сил, которую необходимо затратитьпо преодолению сил поляпри перемещении заряда, подобно (1.20), равна по величине, но противоположна по знаку работе сил поля

Если в качестве исходной точки взять точку, в которой Е = 0, например, бесконечно удаленную точку, то получаем разность потенциалов двух точек, в одной из которых(а именно – в первой) j¥= 0. Полученная из (1.65) таким образом характеристика поля точких называется потенциалом:

С учетом (1.62) получаем, что потенциал электрического поля jх по определению есть работа сил поля по перемещению единичного положительного заряда из данной точки х в точку, где Е = 0:

17

совершают работу A1,2. Очевидно, при обратном перемещении заряда по кривойL1 (см. рис. 1.19) силы поля совершают работу A2,1=–A1,2. Результирующая работа

после возвращения заряда в точку 1 в системе нет никаких изменений, т.е. не изменилось ни положение зарядов, образующих поле, ни положение подвижного заряда q, следовательно, не должно быть ни выигрыша работы, ни ее потерь. Поэтому работа по перемещению заряда в электрическом поле не зависит от формы пути, а зависят только от положения начальной и конечной точек. Такие поля называются консервативными.

Разделив (1.68) на величину заряда q получим:

направление, а потенциал есть скаляр и определяется только численным значением. Кроме того, разность потенциалов гораздо проще измерить экспериментально.

положителен (см. рис. 1.20, а), а отрицательного – отрицательный (рис. 1.20, б).

Этим же выражением определяется потенциал сферы на расстоянииr от ее центра, поскольку из сравнения (1.41) и (1.56) видно, что при r>R распределение электрического поля в этих обеих системах одинаково (см. рис. 1.20). Потенциал поверхности сферы определяется выражением (1.70) при условии, что r = R.

Сферический конденсатор. В системах зарядов, которыми являются конденсаторы,

отрицательного электрода, потенциал которого принимается равным нулю.

18

Пусть внутренняя сфера радиусомa заряжена отрицательным зарядом–q, и ее потенциал ja = j– = 0 мы принимаем равным нулю(см. рис. 1.21). Тогда по условию индукции заряда внешняя сфера радиусомb будет заряжена положительным зарядом +q. Так как Е между сферами в этом случае определяется по (1.57) с обратным знаком, то потенциал точки r, находящейся между сферами относительно внутренней сферы согласно (1.66)

Напряжение между внутренней и внешней сферами согласно (1.65)

Из (1.71) видно, что jr увеличивается от нуля приr=a до U при r=b (рис. 1.21), тогда используя выражение (1.72), формулу (1.71) можно записать в виде

Плоский конденсатор. Примем за начало отсчета координаты отрицательную пластину конденсатора, для которой j– = 0 (см. рис. 1.22). С учетом того, что Е между пластинами в этом случае определяется по(1.54) с обратным знаком, согласно (1.66) получаем потенциал точки расположенной на расстоянии х от отрицательной

пластины плоского конденсатора относительно этой пластины

19

Из (1.77) видно, что jr увеличивается от нуля при r = a до U при r = b (рис. 1.23), тогда используя выражение (1.78), формулу (1.77) можно записать в виде

получаем, что потенциал любой точки этого поля относительно бесконечности определяется как алгебраическая сумма потенциалов ji отдельных зарядов:

Протяженные тела. Используя полученный принцип суперпозиции для потенциала в (1.80), также можно определить потенциал поля протяженных заряженных тел в точка симметрии.

Для этого разбивают тело на бесконечно малые элементы объемомdV, которые рассматриваем как точечный заряд величинойdq = r×dV. Элементарный потенциал dj, создаваемый этим элементом в точке, отстоящей от него на расстояниеr, определяется по формуле (1.70):

4pee0 r

где r – объемная плотность заряда тела (см. 1.4, б).

Потенциал, создаваемый всем телом в точке симметрии отстоящей от тела на одинаковом расстоянии r, в соответствии с (1.18)

20