2.2 Енергетичні характеристики неперервних детермінованих сигналів

Основними енергетичними характеристиками сигналу s(t) є йогопотужністьіенергія.Миттєва потужністьдійсного сигналу визначається як квадрат миттєвого значення s(t):

p(t) =s²(t). (2.4)

Визначена таким чином функція p(t) має розмірність – квадрат розмірності сигналуs(t). За замовчуванням функціяs(t) є напругою, тоді розмірність функціїp(t) В²(вольт в квадраті).Потужність сигналу, визначена у відповідності до (2.4), характеризує інтенсивність сигналу, його спроможність діяти на прилади, пристрої, що реєструють сигнал. Потужність сигналу є його характеристикою, і лише¹.

Середня потужністьсигналу скінченної тривалості визначається шляхом усереднення (2.4) на інтервалі існування сигналу (0,T_s)

. (2.5)

Енергія сигналу кінцевої тривалості визначається

. (2.6)

З останнього співвідношення видно, що енергія сигналу враховує як інтенсивність сигналу, так і час його дії, відповідно розмірність В²с (вольт в квадраті секунда).

Для періодичного сигналуйогосередня потужністьвизначається шляхом усереднення (2.5) на одному періоді Т

, (2.7)

а межі інтегрування вибираються за зручністю обчислень. Говорити про енергію періодичного сигналу або іншого сигналу, що не є скінченним за тривалістю, не має сенсу. Але для таких сигналів може бути визначена енергія на деякому кінцевому інтервалі(t₁,t₂) (наприклад, на одному періоді періодичного сигналу, на інтервалі спостереження сигналу тощо)

. (2.8)

Потужність та енергія комплексного сигналу s(t) визначаються співвідношеннями (2.4)...(2.8), в які замістьs²(t) необхідно підставитиs(t)·s*(t) =s(t)², де s*(t) – функція, комплексно спряжена ізs(t);s(t)– модуль сигналуs(t).

Сигнал називається нормованим, якщо його енергія

Е_s= 1. (2.9)

Поряд з функцією часу s(t), яка повністю визначає сигнал, у деяких випадках має значення інша часова характеристика –кореляційна функціясигналу.Для дійсного сигналу скінченної тривалостівона визначається, як:

, (2.10)

де – часовий зсув, який набуває як додатніх, так і від’ємних значень. При  = 0

К_s(0) =Е_s. (2.11)

Для періодичного сигналу з періодом Т, енергія якого нескінченно велика, використовується наступне визначення

.(2.12)

Функція K_s пер() – періодична з періодом Т, а

K_{s пер}(0) =P_s. (2.13)

Крім властивостей (2.11) і (2.13) зазначимо, що кореляційна функція дійсного сигналу є парна функція аргументу :

K_s() =K_s(),K_{s пер}() = K_{s пер}(). (2.14)

Це стає очевидним, якщо добуток s(t)s(t +) розглядати як добуток s(t–)s(t).

Для комплексного сигналу s(t) кореляційна функція визначається співвідношеннями (2.10) і (2.12), в які замість s(t)s(t + ) підставляється s(t)s*(t+).

Кореляційна функціясигналу характеризує міру зв’язку (кореляції) сигналу s(t) зі своєю копією, що зсунута на величинуза віссю часу – більш детально це буде обговорюватися у подальших розділах на прикладах випадкових сигналів.

Є два сигнали s₁(t) іs₂(t). Для них уводиться поняттявзаємної кореляційної функції

(2.15)

і скалярний добуток

. (2.16)

З останніх співвідношень видно, що .

Якщо скалярний добуток сигналів , тосигнали є ортогональними. Набір попарно ортогональних сигналів називають системою ортогональних сигналів. Ортогональність сигналів дозволяє легко їх розділяти – тобто з їх суми виділити будь-який сигнал.

Приклад 2.1.Знайдемо енергію і середню потужність поодинокого трикутного імпульсу (рис. 2.4), що описується виразом

Врахуємо, що сигнал є парним, і за виразом (2.6) отримаємо наступний вираз для обчислення енергії

За відомою енергією легко знайти середню потужність імпульсу

.

Вправа 2.1.Визначте енергію і потужність поодинокого П-імпульсу, що описується

(2.17)

Вправа 2.2.Вкажіть, як зміниться середня потужність послідовності П-імпульсів, якщо:

– не змінюючи тривалості імпульсів змінити період їх повторення;

– не змінюючи періоду повторення зменшити їх тривалість;

– в однакове число разів зменшити або збільшити і тривалість імпульсів, і період їх повторення.

Приклад 2.2.Знайдемо кореляційну функцію поодинокого П-імпульсу, що описується виразом (2.17). Кореляційна функція сигналу визначається співвідношенням (2.10).

Нехай 0 < <T_s. Тоді

і

.

Коли T_s, тоK_s() = 0. З урахуванням властивості парності кореляційної функції остаточний вираз набуває вигляду

(2.18)

Графік кореляційної функції П-імпульсу наведено на рис. 2.5.

Приклад 2.3.Знайдемо енергетичні характеристики радіоімпульсу – відрізку гармонічного коливання тривалістюT_s. Нехай радіоімпульс має прямокутну обвідну і описується виразом

(2.19)

За виразом (2.5) знаходимо середню потужність

.

У типових ситуаціях інтервал (0, T_s) містить велике число періодів коливання частоти 2₀, так що 2₀T_s>> 1. Оскільки |sin 2₀T_s|1, то за такої умови другим доданком у квадратних дужках логічно знехтувати у порівнянні з одиницею, і

. (2.20)

Тепер легко знайти енергію

.

Для визначення кореляційної функції радіоімпульсу з прямокутною обвідною покладемо 0 < <T_s. Тоді на інтерваліt<T_sдобуток

,

а поза інтервалом добуток дорівнює нулю. Кореляційна функція

Внаслідок міркувань, наведених вище при визначенні P_s, другим доданком у квадратних дужках можна знехтувати, й остаточний вираз для кореляційної функції радіоімпульсу з прямокутною обвідною набуде вигляду

(2.21)

Графік K_s() наведено на рис. 2.6. Особливістю кореляційної функції радіоімпульсу є те, що вона не залежить від фази коливання.

Вправа 2.2.Доведіть, що енергетичні характеристики радіоімпульсу

(2.22)

де ₀– довільна величина, збігаються з характеристиками, отриманими у прикладі 2.3.