3.7 Гауссів випадковий процес

Найчастіше в теорії й техніці зв’язку зустрічається так званий гауссів (або нормальний) випадковий процес. Випадковий стаціонарний процесX(t)називаєтьсягауссовим,якщо його одновимірна й двовимірна густини ймовірності визначаються наступними виразами

, (3.45)

, (3.46)

де ²– дисперсія процесу;

а – середнє значення процесу;

R_Х() – значення нормованої кореляційної функції процесу.

Щоб визначити двовимірну густину ймовірності нормального випадкового стаціонарного процесу, досить знати лише його КФ. Таким чином,нормальні стаціонарні процеси можуть відрізнятися один від іншого видами КФ й, відповідно, СГП.

Одновимірна функція розподілу ймовірностей нормального процесунаступна

, (3.47)

де (3.48)

– гауссова Q-функція або доповнення до функції розподілу ймовірностей. Графіки функцій (3.45) і (3.47) наведені на рис. 3.5.

Гауссів смуговий процесзручно представити через квадратурні складові

, (3.49)

де A(t) і(t) – обвідна і фаза процесу;

X_c(t) іX_s(t) – квадратурні складові процесу;

₀– деяка частота, що належить смузі частот процесуX(t).

Квадратурні складові X_c(t) іX_s(t) – некорельовані процеси, що мають гауссів розподіл імовірностей, їхні дисперсії однакові й дорівнюють половині дисперсії процесуX(t).

Обвідна A(t) і фаза(t) також є некорельованими процесами.ОбвіднаA(t)має релеєвський розподіл імовірностей(рис. 3.6)

(3.50)

У виразах (3.50) ²– дисперсія процесуX(t). Числові характеристики релеєвського процесу: середнє значення, дисперсія, середня потужністьP_A= 2².

Фаза(t)має рівномірний розподіл імовірностейна інтервалі(0, 2) (рис. 3.7)

(3.51)

Тут уважний читач мав звернути увагу, що вище у прикладах 3.1 і 3.2 та вправах 3.1…3.4 використовувався рівномірний розподіл імовірностей, а вирази (3.51) є окремим випадками виразів (3.15) і (3.16).

Вправа 3.7.Визначте числові характеристики фази гауссового смугового процесу. Не забудьте, що одиницями виміру фази (в даному випадку випадкового процесу) є радіани або градуси.

Приклад 3.6.Чисельним моделюванням доведемо, що обвідна гауссового смугового процесу має релеєвський розподіл імовірностей.

Будемо використовувати середовище інженерних та наукових розрахунків Matlab. Задамо ряди незалежних значень квадратурних складових смугового процесу X_c(t) іX_s(t), що мають гауссів розподіл імовірностей з дисперсією 1 В²та нульове середнє значення. Не формуючи безпосередньо смуговий процес, за виразом обвідної (2.96) визначимо ряд її значень та побудуємо гістограму (рис. 3.8) – аналог густини ймовірності за обмеженого обсягу значень реалізації випадкового процесу. Порівняємо отриманий результат з очікуваним релеєвським розподілом (тонка суцільна лінія). Також побудуємо гістограми квадратурних складових та впевнимося, що їх розподіл близький до гауссового.

Текст так званого М-файлу, операції в якому описані вище,наведено в додатку А.

Рисунок 3.8 – Результат вирішення прикладу 3.6

Вправа 3.8.За аналогією вирішення прикладу 3.6 чисельним моделюванням у середовищі Matlab або іншому доведіть, що фаза гауссового смугового процесу має рівномірний розподіл імовірностей.