3.10 Перетворення випадкових процесів нелінійними електричними колами

Тут розглядаються лише безінерційні електричні кола,тобто такі, реакція яких на дію миттєво припиняється після її закінчення.Коло називаєтьсянелінійним, якщо для нього не виконується принцип суперпозиції. Варто відзначити, щоприсутність одного нелінійного елементу робить усе електричне коло нелінійним.

При дослідженні проходження випадкових процесів через нелінійні безінерційні кола вважається, що відомі статистичні характеристики вхідногопроцесуX(t) і залежністьy=f(x) між миттєвими значеннями вхідного й вихідного процесів. Необхідно знайти характеристики вихідного процесуY(t) (рис. 3.14).

Найпоширенішою функцієюf(x)для опису нелінійних перетворень є поліном степеняn

f(x) =a₀ +a₁x+a₂ x² + ... +a_n xⁿ, (3.62)

де a₀,a₁,a₂,...,a_n – коефіцієнти полінома.

Коефіцієнти й степінь полінома визначаються в результаті апроксимації характеристики реального електричного кола або виходячи із деяких припущень. Крім поліноміальної залежності (3.54) використовуються й інші залежності.

Кожна із складових (3.62) вносить свій внесок у формування значень реакції нелінійного кола на вхідну дію. Так, a₀описує появу постійної складової прих= 0;a₁x– лінійний доданок, що забезпечує пропорційне відображення значеньхвy;a₂x²– квадратичний доданок;a₃x³– кубічний доданок і т.д. забезпечують внески, пропорційніх²,х³і т.д.

Найпростіша дія – гармонічне коливання x(t) =A₁cos2f₁t. У цьому випадку сигнал на виході нелінійного кола буде наступним:

y(t) =a₀ +a₁A₁cos2f₁t+a₂A₁²cos²2f₁t+ ... +a_n A₁ⁿcosⁿ2f₁t. (3.63)

Якщо скористатися формулами кратних аргументів, то отримаємо

y(t) =Y₀ +Y₁cos 2f₁t+Y₂cos22f₁t+ ... +Y_ncos2nf₁t, (3.64)

де Y₀– постійна складова реакції;

Y₁,Y₂, ...,Y_n– амплітуди першої, другої, ...,n-ї гармонік реакції.

Таким чином, реакція на гармонічну дію містить постійну складову й гармоніки частоти дії – це принципово відрізняє нелінійні кола від лінійних, в яких нові складові не виникають.

У випадку бігармонічної дії

x(t) =A₁cos2f₁t+A₂cos2f₂t(3.65)

підхід до визначення реакції такий самий, як і використаний вище – вираз для x(t) підставляється в поліном (3.62). При зведенні суми (3.65) у квадрат, куб і т.д. з’являться степені косинусоїд частотf₁іf₂, що після перетворень дає вираз виду (3.64) для коливань частотf₁іf₂. Але з’являються ще й добутки косинусоїд й їхніх степенів. Добуток косинусоїд приводить до появи складових сумарних і різницевих частот.

У загальному випадку будуть мати місце складові комбінаційних частот

f_комб=pf₁ qf₂, (3.66)

де p,q– цілі числа 0, 1, 2, ..., але такі, щоp+qn. Їхня сумаN=p+qназиваєтьсяпорядком комбінаційної частоти.

Так, якщо n= 3, то у спектрі реакції можуть бути складові частотf₁,f₂, 2f₁, 2f₂,f₁f₂, 3f₁, 3f₂,2f₁ f₂,f₁ 2f₂і постійна складова.Амплітуди складових залежать від амплітудА₁іA₂ікоефіцієнтів полінома(3.62). Якщо амплітуди і фази складових дії на коло є випадковими, то, відповідно, випадковими будуть амплітуди і фази складових на комбінаційних частотах реакції.

Визначити СГП вихідного процесуG_Y(f)можна в такий спосіб: визначити спочатку КФ вихідного процесуK_Y(), а потім виконати над нею перетворення Фур’є. Виходячи з визначення КФ

(3.67)

де f(x) – функція, що описує нелінійне коло;

р₂(х₁,х₂,) – двовимірна густина ймовірності вхідного процесу.

При проходженні випадкового процесу через нелінійне коловид розподілу миттєвих значень суттєво змінюється.

На рис. 3.15 показано довільну нелінійну залежністьy=f(x). Всі значення процесуx(t), що попадають в інтервалx, відображаються в значення процесуy(t), що попадають в інтервалy. Тому справедлива рівністьр(х)xp(y)y. Переходячи до нескінченно малих приростівdxіdy, отримаємо, що

p(y) =. (3.68)

Це і є загальне правило розрахунку густини ймовірності вихідного процесу для електричних кіл з однозначними залежностями міжxіy.

Методи визначення характеристик вихідного процесу викладені. Звичайно, у конкретних випадках можуть зустрітися математичні труднощі.

Приклад 3.10.Визначимо складові комбінаційних частот на виході нелінійного кола, характеристика якого описується поліномом третьої степені з коефіцієнтамиа₁=а₂=а₃= 1, якщо на вході цього кола діє випадковий процес, що є бігармонічним коливанням з частотамиf₁= 100 Гц,f₂= 230 Гц, нульовими початковими фазами та амплітудамиА₁=А₂= 1 В. Побудуємо графіки спектрів процесів на вході і виході нелінійного кола.

Як було вказано вище, для знаходження складових реакції нелінійного кола необхідно у вираз полінома (3.54) підставити вираз дії на коло (3.57). Для поліному з п= 3 результат розв’язання такої задачі зручно представити табл. 3.1.

Для заданих значень коефіцієнтів поліному та амплітуд дії, значення частот та амплітуд складових комбінаційних частот, визначені за табл. 3.1 і зведені в табл. 3.2

На рис. 3.16 наведено графік спектра дії на нелінійне коло G_X( f )та графік спектра реакції нелінійного кола G_Y( f ), побудований за значеннями табл. 3.2.

Таблиця 3.1– Амплітуди комбінаційних частот у випадкуn= 3

Порядок частоти N	Частота fкомб	Амплітуди складових вихідного коливання, які викликані окремими доданками поліному
		a1x	a2x2	a3x3
0	0	–	0,5a2(A12 + A22)	–
1	f 1	a1 A1	–	1,5a3 A1(A12/2 + A22)
	f 2	a1 A2	–	1,5a3 A2(A12 + A22/2)
2	2f 1	–	0,5a2 A12	–
	2f 2	–	0,5a2 A22	–
	f 1  f 2	–	a2 A1 A2	–
3	3f 1	–	–	0,25a3 A13
	3f 2	–	–	0,25a3 A23
	f 1  2f 2	–	–	0,75a3 A1 A22
	2f 1  f 2	–	–	0,75a3 A12A2

Таблиця 3.2– Результат вирішення прикладу 3.10

Порядок N = p + q	0	1	2		3
fкомб	0	f1, f 2	2 f1, 2 f 2	f1   f 2 	3 f1, 3 f 2	f1  2 f 2 	2 f1   f 2 
Числове значення fкомб, Гц	0	100, 230	200, 460	330, 130	300, 690	460, 30	560, 360
Ypq, В	1	3,25	0,5	1	0,25	0,75	0,75

Вправа 3.12.Доведіть значення амплітуд складових вихідного коливання, які викликані окремими доданками поліному, що наведені в табл. 3.1.

Вправа 3.13.Розв'яжіть задачу, аналогічну розглянутій в прикладі 3.10, за умови, щоf₁= 75 Гц,f₂= 150 Гц,А₁= 0,5 В,А₂= 1,5 В.