2.7 Спектральне представлення дискретних сигналів

Нагадаємо, що відповідно до класифікації сигналів, наведеної у п. 2.1, сигнал називається дискретним, якщо кількість значень t, у які сигнал заданий, скінченна або значення tможна пронумерувати. Звичайно крок за часом, через який сигнал подається, постійний і називається він інтервалом дискретизації T_д. Найчастіше дискретний сигнал з’являється в результаті дискретизації за часом неперервного за часом сигналу, тобто подання його відліками (рис. 2.21). Представлення сигналу відліками широко використовується з метою передавання аналогових сигналів цифровими каналами зв’язку, а також для виконання перетворень аналогових сигналів пристроями дискретної та цифрової обробки.

Описом дискретного сигналу є послідовність чисел{s(nT_д)}, де n– дискретний час. Часто для зручності послідовність позначають s(nT_д), хоча таке ж позначення s(nT_д) є значенням послідовності в момент nT_д. Ще одним варіантом позначення є відповідний індекс біля позначення сигналу.

Над послідовностями так само, як і над аналоговими сигналами, виконують різні арифметичні операції.Основним математичним апаратом для аналізу перетворень дискретних сигналів лінійними дискретними й цифровими системами є апарат лінійних різницевих рівнянь і z-перетворення. Цей математичний апарат викладено у відповідній літературі.

Для теорії й техніки зв’язку важливими є спектральні характеристики дискретного сигналу. Спектральну густину дискретного сигналу визначають за допомогою перетворення Фур’є, вважаючи, що дискретний сигнал представлений δ-імпульсами (рис. 2.21, б)

. (2.58)

Знайдемо перетворення Фур’є дискретного сигналу s(nT_д), для чого підставимо (2.58) у (2.43). Спектральна густина дискретного сигналу

. (2.59)

Змінюючи порядок інтегрування й підсумовування та враховуючи фільтруючу властивість дельта-функції, отримаємо

. (2.60)

Співвідношення (2.60) визначає спектр дискретного сигналу s(nT_д). Оскільки функціїперіодичні за частотоюз періодом 2/(nT_д), то з останнього виразу видно, що функціяS_д(j) періодична в частотній області з періодом 2/T_д. Вираз (2.60) за виглядом збігається з виразом (2.41) для подання періодичної функції часу рядом Фур’є в комплексній формі. Розглядаючи (2.60) як розвинення функціїS_д(j) в ряд Фур’є, слід вважати, що значення s(nT_д) є коефіцієнтами розвинення функції в ряд. Використаємо вираз (2.42) для розрахунку коефіцієнтів розвинення:

. (2.61)

Співвідношення (2.60) і (2.61) називаються відповідно прямим і зворотним перетворенням Фур’є послідовності або дискретного сигналу s(nT_д).

Обчислення спектра послідовності s(nT_д) за допомогою виразу (2.60) припускає складання нескінченного числа членів. Реально для аналізу спектра дискретного сигналу використовують послідовності скінченної довжиниN (тривалості NT_д). Припустимо, що послідовність періодично повторюється з періодом NT_д. Як відомо, спектр періодичного сигналу містить лише складові з частотами kf₁=k/(NT_д) (kназивають цифровою частотою). Тому у співвідношенні (2.60) замістьслід писати 2kf₁= 2k/(NT_д). Перепишемо (2.60) в загальноприйнятому вигляді

. (2.62)

Щоб виразити s(n) через S(k), помножимо обидві частини рівності (2.54) наі просумуємо за k

. (2.63)

Змінюючи в правій частині порядок підсумовування, розглянемо суму

(2.64)

Справді, у випадку n =m e⁰= 1 і сума дорівнює N. У випадку n  mсума відліків комплексної експоненти на інтервалі зміни її аргументу, що дорівнюєn– mперіодів, дорівнює нулю.

З урахуванням (2.64) для правої частини (2.63) справедлива рівність

. (2.65)

Підставляючи (2.65) в (2.63) і переходячи до nзамість m, отримаємо

. (2.66)

Вводять позначення . Тоді співвідношення (2.62) і (2.66) запишуться

; (2.67)

. (2.68)

Співвідношення (2.67) і (2.68) є відповідно прямим і зворотним дискретним перетворенням Фур’є(ДПФ).ДПФ передбачає періодичність дискретного сигналу з періодом NT_д.Періодичним є і спектр цього сигналу з періодом2/Т_дтак само, як і спектр неперіодичного дискретного сигналу. Програмно пряме і зворотне ДПФ реалізують за алгоритмом швидкого дискретного перетворення Фур’є (FFT–FastFourierTransform), який дозволяє суттєво скоротити час обчислення порівняно з безпосереднім використанням виразу ДПФ.

Якщо ДПФ застосовано для сигналу, що насправді не є періодичним, то його результат є вірним для діапазону частот (0,/Т_д),а результати для(/Т_д, 2/Т_д)відповідають значенням з(–/Т_д, 0).

Приклад 2.12.Нехай задано неперервний сигналs(t)кінцевої тривалостіT_sта його спектральна густинаS(jω)(рис. 2.22, а,б). Для здійснення спектрального аналізу чисельно за допомогою ДПФ цейсигнал дискретизується (рис. 2.22, в). У відповідності до прийнятих вище позначень кількість відліків позначаємоN, а інтервал дискретизації, відповідно, є наступнимT_д=T_s/N.

Спектр дискретного сигналу S_д(f) містить періодичні повторення спектра сигналу, який дискретизується (рис. 2.22,г).

Для отримання окремих значень спектральної густини (відліків спектральної густини) заданий сигнал s(t) кінцевої тривалості трансформується в періодичний сигналs_п(t) з періодом, що дорівнює тривалостіT_s(рис. 2.22,д). В результаті такої трансформації спектральна густина містить складові на частотах кратних 1/T_sі саме їх значення обчислюються при ДПФ (з 0 доN – 1).

До речі, якщо крок між відліками спектральної густини 1/T_s є завеликим, його можна зменшити, збільшивши тривалість сигналу шляхом дописування нульових значень в кінець дискретної послідовності, що його відображає.

Вправа 2.11. Використовуючи доступний пакет математичних розрахунків, здайте вісім значень одного періоду гармонічного коливання та виконайте над заданою послідовністю ДПФ. Впевніться в тому, що в отриманій послідовності лише перший та сьомий елементи є ненульовими (рахунок ведеться з нульового значення).