3.3 Числові характеристики стаціонарних процесів

Багато практичних задач, пов’язаних з випадковими процесами, можна вирішувати, використовуючи більш “грубі” характеристики процесів, ніж розподіли ймовірностей. Однієї з таких характеристик є середнє значення процесу (аналог математичного сподівання випадкової величини).Середнє значення процесу–це рівень, навколо якого процес набуває своїх значень. Його можна визначити, знаючи густину ймовірності процесу

. (3.17)

Аналогічно, інтеграл з нескінченними межами добутку будь-якої характеристики процесу і густини ймовірності дозволяє знайти середнє значення цієї характеристики. Так, середня потужністьпроцесу – середнє значення квадрату процесу

. (3.18)

Середнє значення квадрату відхилень процесу від середнього значення називаєтьсядисперсієюпроцесу

. (3.19)

Додатний корінь із дисперсії

(3.20)

називаєтьсясереднім квадратичним відхиленнямпроцесу.

Як видно зі співвідношень для середніх значень (3.17) – (3.20), для стаціонарних процесів вони є постійними величинами.

Приклад 3.2.Стаціонарний випадковий процесX(t) задано одновимірною густиною ймовірності, використаною у прикладі 3.1. Визначимо середнє значення і дисперсію процесуX(t).

За виром (3.17) легко знайти

В

(тут і далі, якщо не зазначено інше, прийнято, що процес – це зміна напруги).

Тепер, коли відомо середнє значення, за виразом (3.16) знайдемо дисперсію

В².

Вправа 3.3.Визначте середню потужність процесуX(t), густину ймовірності якого задано в прикладі 3.1, та впевніться, що

– середня потужність випадкового процесу є сумою потужності постійної складової (квадрату середнього значення) і потужності змінної складової (дисперсії).

Вправа 3.4.Доведіть, що середнє значення і дисперсія випадкового процесу, густина ймовірності якого описується виразом (3.15), обчислюються за наступними виразами

,. (3.21)

3.4 Кореляційна функція стаціонарних процесів

Уведені середні значення характеризують процес тільки в один довільний момент часу й зовсім не стосуються зв'язку між значеннями випадкового процесу в різні моменти часу. Зв’язок між значеннями X(t) іX(t +) (– довільний зсув у часі) статистично оцінюєтьсякореляційною функцією (КФ) процесуX(t), що обчислюється як середнє значення добутку

. (3.22)

Можна вказати низку властивостей КФдовільних стаціонарних процесів.

1. Якщо у співвідношенні (3.22) покласти = 0, то воно переходить у співвідношення (3.18), тому

(3.23)

– КФ в нулі дорівнює середній потужності випадкового процесу.

2. Оскільки КФстаціонарного процесу не залежить від часуt, то середнє значення добутку, тому

(3.24)

– КФ випадкового процесу парна.

3. Розглянемо середній квадрат різниці значень процесу, інтервал часу між якими становить ,

(3.25)

Середній квадрат завжди додатний. Тому

(3.26)

– значення КФ будь-якого випадкового процесу при аргументі = 0максимальне.

4. Відповімо на питання: наскільки відрізняються у середньому значення процесу, інтервал часу між якими становить ? Відповідь знаходиться у співвідношенні (3.21):

(3.27)

– чим більше відрізняється K_X()відK_X(0),тим більше у середньому відрізняються значення процесу, інтервал часу між якими становить. Оскільки швидкість зміни значень будь-якого процесу з обмеженою шириною спектра кінцева, то існує деяка залежність між цими значеннями процесу. Чим більше ця залежність, тим більшою мірою значення повторюють одне одного й тим менше. Таким чином,кореляційна функціяK_X()випадкового процесуX(t)характеризує міру статистичного зв'язку між значеннями процесу, час між якими .

Очевидно, що зі зростанням статистичний зв'язок між значеннямиX(t) іX(t +) зменшується й за досить великихвзаємозв'язок зникає. При цьому якщо середнє значення процесу дорівнює нулю, то, оскільки добутки мають рівні ймовірності бути додатними або від’ємними. Отже, якщо, то прифункціяK_X() прямує до нуля, убуваючи монотонно або коливаючись навколо нуля, як показано на рис. 3.3,а. Якщо ж, то легко показати, що прифункціяK_X() прямує до(рис. 3.3,б).

Порівнювати значення K_X() іK_X(0) для визначення статистичного зв’язку між значеннями процесу зсунутими за часом нане зовсім зручно, тому що ці значення залежать від дисперсії процесу (властивості 1 і 4). Визначення статистичного зв’язку зручно проводити занормованою кореляційною функцією

. (3.28)

Зі співвідношення (3.26) випливає, що 1R_X()1. Чим ближче значенняR_X() до 1, тим сильніше корельовані значення процесу зсунуті за часом на. ЯкщоR_X() = 0, то значення процесу зсунуті за часом на, некорельовані, незалежні.

Для грубого опису кореляційних зв’язків уводять поняття інтервал (час) кореляціїпроцесу_к. Умовно вважать, щозначення процесу, які відстоять на_ксуттєво корельовані між собою, а значення процесу, які відстоять на>_к,некорельовані або корельовані несуттєво. Інтервал кореляції визначають по-різному подібно тому, як оцінюється ширина спектра. Так, можна прийняти, що

. (3.29)

Тут геометрично _кдорівнює основі прямокутника з висотоюR_X(0) = 1, що має ту саму площу, що й площа між кривоюR_X()при> 0 і віссю абсцис.

Інтервал кореляції _кможна визначити й інакше – як тривалість функціїR_X()при> 0 на рівні, наприклад, 0,1 або як, за якого КФ перший раз набуває значення нуль (якщо КФ убуває коливаючись).

Сказане відносно визначення _кє вірним у тому випадку, коли. Якщо, то_квизначають занормованою коваріаційною функцією

, (3.30)

де –коваріаційна функція процесуX(t)

. (3.31)

Очевидно, що кореляційна і коваріаційна функції пов'язані між собою наступним чином

. (3.32)

Аналогічно визначенню КФпроцесу вводитьсявзаємна кореляційна функціядля характеристики зв’язку між значеннями двох випадкових процесівX(t) іY(t), що відстоять у часі на,

, (3.33)

де – спільна густина ймовірності значень стаціонарних процесівX(t) іY(t), що відстоять у часі на.

Для розв’язання багатьох практичних задач досить знати лише середні значення, дисперсії й КФ. Теорії, які обходяться лише цими характеристиками, називаютьсякореляційними теоріями. У рамках кореляційної теорії природно вважати стаціонарними таківипадкові процеси, у яких середнє значення й дисперсія процесу не залежать від часу, а КФ залежить лише від. Такі випадкові процесиназиваютьсястаціонарними в широкому сенсі.

Приклад 3.3.Стаціонарний випадковий процесX(t) має КФ

_,В². (3.34)

Знайдемо середню потужність і середнє значення цього процесу. Перевіримо виконання властивостей КФ.

Згідно з формулою (3.19) (перша властивість КФ) середня потужність процесу дорівнює 12 В². Відповідно до четвертої властивості КФ, прифункціяK_X() прямує до, відповідно, отримуємоВ абоВ²(знак неможливо встановити по КФ).

Парність заданої КФ випливає з парності другого доданку, який є функцією виду sinx/x. Максимум КФ при τ = 0 обумовлюється максимумом функції видуsinx/xза нульового значення аргументу.

Приклад 3.4.Задано КФ процесу (3.34). Визначимо інтервал кореляції цього процесу.

Оскільки середнє значення процесу не є нульовим, то для визначення _кмаємо визначити його нормовану коваріаційну функцію:

_.

Враховуючи, що – функція видуsinx/xубуває коливаючись навколо нуля, визначаємо_кза першим нульовим значенням:. Виразнабуває нульових значень, коли нулю дорівнює значення функціїsinу чисельнику. При τ = 0 чисельник набуває нульового значення, проте знаменник теж дорівнює нулю, а розкриття цієї невизначеності дає 1. Для значеньфункціянабуває нульових значень, коли(k– ціле число). Найменшеk= 1 і, звідки_к= 1/200 с.

Вправа 3.5. Стаціонарний випадковий процесX(t) має КФ

.

Знайдіть потужність та середнє значення процесу X(t). Визначте інтервал кореляції процесу. Доведіть, що задана КФ парна, а при τ = 0 її значення максимальне.