2.12 Дискретизація смугових сигналів

Подання смугових сигналів дискретними необхідно, коли їхнє перетворення (фільтрація, детектування тощо) виконуються процесорами цифрових сигналів. У випадку смугових сигналів, а особливо вузькосмугових сигналів, частота дискретизації може бути суттєво менша за2f_max. Впевнимось у цьому.

Спектральна густина дискретного сигналу описується виразами (2.75) і (2.76). На рис. 2.35,анаведено амплітудний спектр довільної формиS(f) смугового сигналу, що зосереджений на інтервалі (f_min,f_max). На рис. 2.35,бзображено амплітудний спектр дискретного сигналу, що може мати місце при дискретизації сигналу зі спектром, наведеним на рис. 2.35,а.

Заради наочності складові спектра дискретного сигналу, які викликані періодичним повторенням смуг частот (f_min,f_max) і (–f_max, –f_min), позначені “заливкою” різної густини. Щоб складові спектра на рис. 2.35,бне перекривалися, необхідно так вибрати частоту дискретизаціїf_д, щоб задовольнити двом умовам, які випливають з рис. 2.35,б:

, (2.111)

де k– ціле число.

Нерівності (2.111) перепишемо так, щоб обмежити знизу і зверху значення частоти дискретизації f_д:

(2.112)

Максимальне значення k_maxвизначається за умови, що складові спектра будуть розміщені максимально близько, з рис. 2.35,б – у формулах (2.111) необхідно знаки нерівностей змінити на знаки рівностей

. (2.113)

За цих рівностей частота дискретизації f_двизначається

. (2.114)

Рішення рівняння (2.114) відносно k_maxдає (з урахуванням того, щоkціле)

(2.115)

У випадку, коли k= 0, частота дискретизаціїf_д2f_max, тобто це умова вибору частоти дискретизації для первинних (низькочастотних) сигналів, що задовольняє теоремі Котельникова. Колиk> 0, то подання смугового сигналу дискретним стає більш ощадливим (меншим числом відліків). Найбільш ощадливе подання сигналу буде, колиk=k_max.

Відновлення неперервного смугового сигналу за відліками здійснюється смуговим фільтром, у якого нижня гранична частота смуги пропускання не більшаf_min,а верхня гранична частота смуги пропускання не меншаf_max.

Зрозуміло, що у практичних додатках має бути знайдений компроміс між ощадливістю подання сигналу та складністю реалізації відновлювального фільтра, оскільки зі збільшенням kйого параметри прямують до параметрів ідеального фільтра.

Вправа 2.18.Задано смуговий сигнал з параметрамиf_min= 2 кГц,f_max= 3 кГц. Форма спектральної густини є довільною, наприклад, такою, як показано на рис. 2.35. Побудуйте графік спектра заданого сигналу. Визначте можливі значенняkта побудуйте відповідні графіки спектрів дискретних сигналів при таких значенняхk. Покажіть на цих графіках, якою має бути АЧХ відновлювальних смугових фільтрів.

Контрольні питання до розділу 2

1. Дайте визначення неперервного, дискретного, квантованого і цифрового сигналів.

2. Дайте визначення первинного і вторинного сигналів.

3. Дайте визначення детермінованого і випадкового сигналів.

4. Дайте визначення періодичного і неперіодичного сигналів.

5. Дайте визначення простого і складного сигналу.

6. В чому різниця між сигналом та коливанням?

7. Дайте визначення миттєвої потужності сигналу, яка її розмірність і що вона характеризує?

8. Дайте визначення середньої потужності і енергії сигналу.

9. За яких умов сигнал називають нормованим?

10. Дайте визначення кореляційної функції сигналу.

11. Що називають узагальненим рядом Фур'є? Запишіть його вираз та вираз розрахунку коефіцієнтів розкладання.

12. Поясніть поняття аналіз та синтез сигналу.

13. Запишіть основні співвідношення для N-вимірного лінійного метричного простору.

14. Запишіть відомі Вам форми ряду Фур'є при тригонометричному базисі.

15. Дайте визначення амплітудного і фазового спектра періодичного сигналу.

16. Дайте визначення поняттям основна частота і гармоніка сигналу, ширина спектра сигналу.

17. Яким чином здійснюють спектральний аналіз періодичного і неперіодичного сигналів? В чому принципова відмінність їх спектрів?

18. Наведіть відомі Вам властивості перетворення Фур'є.

19. В чому особливість спектра дискретного сигналу? Як здійснюють дискретний спектральний аналіз?

20. Сформулюйте теорему Котельникова та доведіть її в частотній області.

21. Що називається рядом Котельникова і що він ілюструє?

22. Перелічіть і поясніть перетворення, що здійснюються в АЦП.

23. Дайте визначення кроку квантування. Як пов’язана величина кроку квантування з діапазоном значень аналогового сигналу?

24. Як збільшення числа рівнів квантування впливає на швидкість цифрового сигналу на виході АЦП?

25. Перелічіть і поясніть перетворення, що здійснюються в ЦАП.

26. Дайте визначення відношення сигнал/шум квантування.

27. Яких значень може набувати похибка квантування? Який закон розподілу її миттєвих значень, чому дорівнюють її середнє значення та середня потужність?

28. Поясніть причини, через які відновлений неперервний сигнал відрізняється від вихідного. Як зменшити цю різницю, якими витратами це буде супроводжуватись?

29. Дайте визначення смугового і вузькосмугового сигналів. Як їх описують, які їх основні параметри?

30. Запишіть відомі Вам форми подання смугового сигналу.

31. Який сигнал називається аналітичним і що необхідно для його отримання?

32. Поясніть особливості дискретизації смугових сигналів.