2.10 Подання смугових сигналів

Смуговими (модульованими)називаються сигнали, в яких спектри не примикають до нульової частоти, їхні спектри зосереджені у смузі частот відf_minдоf_max,іf_min> 0 (рис. 2.30). Для опису смугових сигналів уводять параметри:середня частотаспектраf₀= 0,5(f_min+f_max) іширина спектраF=f_max–f_min. Для смугових сигналів, як правило, виконується співвідношенняF<< f₀, і тоді вони називаютьсявузькосмуговими. У часовій області вузькосмугові сигнали мають вигляд квазігармонічних коливань із середньою частотоюf₀(рис. 2.31).

Будь-який смуговий сигналможна представитинаступним математичним виразом:

(2.91)

де –обвіднасмугового сигналу;

–повна фазасмугового сигналу.

Обвіднасмугового сигналу це позитивно визначена функція, тобто, що, не перетинаючись із сигналом, має з ним спільні точки в моменти, коли значення сигналу на даному періоді максимальне.

Повна фазасмугового сигналу складається із трьох складових:

(2.92)

де – лінійна складова;

–приріст фази;

₀–початкова фаза.

Математичний опис смугових сигналів (2.91), підтверджує їх "квазігармонічність".

При описі смугових сигналів уводять поняття миттєвої частоти, оскільки зміна фази викликає зміну частоти сигналу. За визначенням частота сигналу–це швидкість зміни його фази, тобтомиттєва частота –це похідна від повної фази:

(2.93)

Інтеграл від миттєвої частоти дає повнуфазу сигналу:

(2.94)

Широко використовується квадратурне поданнясмугових сигналів

(2.95)

де –синфазна або косинусна складова;

–квадратурна або синусна складова.

Якщо квадратурні складові йвідомі, то можна знайти обвідну й повну фазу смугового сигналу:

(2.96)

(2.97)

Розповсюдженою формою подання смугових сигналів є комплексна форма:

(2.98)

При аналізі смугових сигналів у комплексній формі вводять поняття комплексної обвідної сигналу:

(2.99)

де –комплексна обвіднасмугового сигналу.

Комплексна обвіднамає наступну форму:

(2.100)

Приклад 2.14. Визначимо обвідну, приріст фази, початкову фазу, миттєву частоту та квадратурні складові сигналу

.

Для визначення обвідної сигналу відповідно до виразу (2.96) спочатку необхідно визначити квадратурні складові. Очевидно, що заданий сигнал має квадратурне подання, тому синфазна і квадратурна складові є наступними:

, .

Тепер можемо знайти обвідну

.

Приріст фази і початкова фаза:

.

Зрозуміло, що , а.

Для визначення миттєвої частоти спочатку запишемо вираз повної фази

.

Миттєва частота:

.

Вправа 2.14.Визначте обвідну, приріст фази, початкову фазу, миттєву частоту та квадратурні складові сигналів:

,

.

Приклад 2.15.Запишемо загальний вираз смугового сигналу з середньою частотою спектра, якщо обвідна , приріст фази, початкова фаза.

У відповідності до виразів (2.91) і (2.92) маємо

.

Вправа 2.15.Запишіть вираз смугового сигналу, заданого у прикладі 2.15, у квадратурній та комплексній формах опису.

2.11 Аналітичний сигнал

Комплексний сигналназиваєтьсяаналітичним,якщоє перетворення Гільберта відx(t). На рисунках комплексний сигнал зображують складеним з двох сигналів, як показано на рис. 2.32.

Перетворювач Гільберта–це лінійне коло, імпульсна реакція якого

. (2.101)

У будь-якому лінійному колі вихідний і вхідний сигнали зв'язані інтегралом Дюамеля. Тому

. (2.102)

Це співвідношення називається перетворенням Гільбертасигналуx(t). Знайдемопередатну функцію перетворювача Гільбертаяк перетворення Фур'є від імпульсної реакції

. (2.103)

або

(2.104)

Нехай S_x(j) – спектральна густина сигналуx(t). Тоді спектральна густина сигналувизначається

(2.105)

Знайдемо спектральну густину аналітичного сигналу

(2.106)

Ми виявили важливу властивість аналітичного сигналу – його спектр на від’ємних частотах дорівнює нулю(рис. 2.33).

Зворотне перетворення Гільберта

. (2.107)

Модуль аналітичного сигналу

(2.108)

є обвідною сигналуx(t), ааргумент

(2.109)

– фазою сигналуx(t).

З виразів (2.108) і (2.109) випливає, що аналітичний сигнал може бути записаний у вигляді:

. (2.110)

Таким чином, поняття обвідної й фази сигналу можуть застосовуватися не тільки до смугових, але й низькочастотних сигналів. Обвідна задовольняє двом умовам:A(t)x(t)– функціяA(t) ніде не перетинає функціюx(t) і в точках дотику функційA(t) іx(t) їхні похідні збігаються:A(t)= x(t), тобто функції мають загальні дотичні.

Приклад 2.16.Задано сигналx(t) =Аcos2πf₀t.Знайдемо перетворення Гільберта заданого сигналу.

Спочатку знайдемо спектральну густину , з урахуванням виразів (2.48) і (2.103) вона є наступною

.

Знайдемо зворотне перетворення Фур'є і тим самим визначимо :

При визначені враховано вираз (2.47).

Вправа 2.16.Доведіть, що перетворенням Гільберта сигналуx(t) =Аsin2πf₀tє –Аcos2πf₀t.

Отже, з останнього прикладу і вправи випливає, що перетворення Гільберта, не змінюючи амплітуду гармонічного коливання, змінює його фазу на –π/2, якщо частота є додатною величиною і, в чому не важко впевнитись, наπ/2, якщо частота є від'ємною величиною.

Враховуючи, що перетворення Гільберта є лінійним, зроблені вище висновки справедливі для кожної окремої спектральної складової сигналу, а АЧХ і ФЧХ кола, що реалізує перетворення Гільберта, є наступними (рис. 2.34):

Вправа 2.17.Запишіть аналітичний сигнал,якщоx(t) =Аcos2πf₀t, знайдіть його обвідну і фазу.