LR1

2

Лабораторна робота № 1.5

ПРЕЦЕСІЯ ГІРОСКОПА

1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА

1.1 Аналогія між поступальним та обертальним рухом

4

цільного диска (рис.2):

l

O

5

1.2. Гіроскоп

1.2.1. Вільний гіроскоп

Гіроскопом називається тверде симетричне тіло, яке обертається навколо осі, що збігається з віссю симетрії тіла, яка проходить через його центр мас і відповідає найбільшому власному моменту інерції.

Зазвичай гіроскоп закріплюють на так званому кардановому підвісі (рис. 4), що дозволяє йому вільно повертатися в просторі навколо будь-яких осей.

Якщо на гіроскоп, що рівномірно обертається, не діють зовнішні моменти сил, то він, відповідно до закону збереження моменту імпульсу, зберігає незмінним положення осі власного обертання.

Ця властивість гіроскопа знайшла застосування для збереження напрямку руху тіл, починаючи з нарізної зброї й закінчуючи системами гіроскопічної орієнтації ракет і космічних літальних апаратів.

Рис. 4.

1.2.2. Гіроскопічний ефект

Розглянемо тепер, що буде відбуватиметься, якщо на гіроскоп буде діяти зовнішній момент сил M .

6

Щоб зрозуміти поводження гіроскопа в цьому випадку, будемо виходити з наступних положень (п1–п4):

п1 – вектор кутової швидкості завжди збігається з віссю обертання, а його напрямок знаходиться за правилом свердлика;

п2 – напрямок моменту сили M знаходиться за правилом свердлика: якщо обертати свердлик в напрямку дії сили, то поступальний рух

п4 – сума двох векторів знаходиться за правилом паралелограма

Введемо позначення – рис.5: zz – вісь власного обертання; yy –вісь вимушеного обе-

ртання;

xx– гіроскопічна вісь.

1.Нехай гіроскоп обертається навколо власної осі (вісь zz) в напрямку, показаному на рис. 5 стрілочкою. Тоді вектор кутової швидко-

лом паралелограма – п.4. Нова вісь обертання згідно з п.1 буде збігатися з новим напрямком кутової швидкості d , тобто вісь гіроскопа

zz повернеться навколо осі xx на деякий кут α і займе положення z,z, . Парадоксальність поводження гіроскопа полягає в тому, що намагаючись повернути гіроскоп навколо осі yy, ми викликаємо його поворот навколо осі xx. Якщо дія зовнішнього моменту триватиме протягом

7

достатнього часу, то гіроскоп повернеться так, щоб його вісь власного обертання збігалася з віссю вимушеного обертання й обертання навколо цих осей відбувалося в одному напрямку.

Таким чином, суть гіроскопічного ефекту полягає в наступному.

Якщо до осі (zz) гіроскопа, що обертається, прикласти пару сил, що намагається повернути гіроскоп навколо осі вимушеного обертання (yy), то гіроскоп повернеться навколо осі гіроскопічного обертання (xx) так, щоб осі власного і вимушеного обертання збіглися між собою й обертання відбувалося у тому ж напрямку.

Ця властивість гіроскопа знаходить корисне практичне застосування в гірокомпасах. Гірокомпас являє собою вовчок, що плаває в посудині із ртуттю і швидко обертається (до 30000 об/хв). Ротор гіроскопа, установлений в обертовій системі координат, пов'язаної із Землею, автоматично встановлюється таким чином, щоб його вісь власного обертання була паралельна осі обертання Землі і, отже, лежала в площині істинного меридіана в даній точці. На сьогодні гіроскопи використаються в різних аеронавігаційних приладах (наприклад, “штучний горизонт”). Великі гіроскопи використаються для зменшення хитавиці суден.

Гіроскопічний ефект може викликати (при наявності в механізмах масивних частин, що швидко обертаються) шкідливий вплив. Наприклад, турбіна при повороті судна викликає, завдяки виникаючим гіроскопічним силам, додатковий тиск на підшипники. Можна показати, що момент гіроскопічних сил можна знайти за формулою M I , де I

– момент імпульсу турбіни, а – кутова швидкість розвороту судна. При великому значенні моменту імпульсу турбіни й швидкому розвороті судна гіроскопічні сили можуть привести до руйнування підшипників.

1.2.3. Прецесія гіроскопа

Явище прецесії гіроскопа може бути продемонстроване за допомогою важільного гіроскопа (рис. 6). Стрижень В може обертатися навколо стійки А як у вертикальному, так і горизонтальному напрямках. На кінці стрижня укріплений гіроскоп Д. Якщо гіроскоп урівноважений тягарцем Р, то рівновага зберігається і при обертанні гіроскопа. Якщо ж тягарець Р збільшити, то він викликає не нахил стрижня В, а його обертання в горизонтальній площині, тобто в площині, перпендикулярній площині креслення.

Розглянемо це явище більш докладно. Нехай гіроскоп обертається навколо горизонтальної осі власного обертання ОО1 так, що вектор кутової швидкості згідно з п.1 спрямований праворуч (рис. 4.9). Якщо гіроскоп урівноважений тягарцем Р, то результуючий момент сил дорівнює нулю, і вісь гіроскопа залишається нерухомою. Додамо

8

тепер до тягарцю Р невеликий грузик вагою mg. У результаті виникає додатковий момент сили M = mgr , що за правилом свердлика

направлений за площину рисунка – п.2 (свердлик слід розташувати перпендикулярно до площини рисунка й обертати за напрямком дії сили mg , тобто за годинниковою стрілкою) . Під дією цього моменту

відповідно до основного закону динаміки обертального руху кутова

кутова швидкість збігається за напрямком з віссю обертання (п1), то це означає, що власна вісь гіроскопа за час dt повернеться в площині, перпендикулярній площині креслення на деякий кут d . При

яка називається кутовою швидкістю прецесії гіроскопа.

Рівномірне обертання осі власного обертання гіроскопа під дією зовнішнього моменту сили, напрямок якого відносно осі власного обертання гіроскопа залишається незмінним за часом, називається прецесією гіроскопа.

A

Тут ми скористалися тим, що для малих кутів tg .

9

З основного закону обертального руху Mdt Id випливає:

Враховуючи те, що в даному випадку момент сили M=mgr, після підстановки (3) в (2) і далі в (1) одержимо вираз для кутової швидкості прецесії:

Виміривши на досліді , за допомогою (4) можна вирішити зворотну задачу -– визначити кутову швидкість обертання гіроскопа:

2. ПРИЛАДИ І ПРИЛАДДЯ

Гіроскоп, набір гирьок, електричний секундомір.

3.ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА УСТАНОВКА

Установка складається з высокооборотного електродвигуна, що розкручує гіроскоп, установлений на карданному підвісі. Після зняття зачеплення гіроскоп продовжує вільно обертатися.

На одному кінці гіроскопа закріплена чашечка для вантажів, що створюють прецесію гіроскопа.

4.ПОРЯДОК ПРОВЕДЕННЯ ВИМІРІВ

1.За допомогою балансуючого пристрою встановлюють ротор гіроскопа в стан байдужної рівноваги.

2.Установлюють зачеплення мотора і гіроскопа, включають мотор, вичікують 3-4 хвилини, щоб обертання встигло стабілізуватися, потім знімають зачеплення і виключають мотор.

3.УВАГА! НЕ ПОРУШУЙТЕ ПОСЛІДОВНІСТЬ ДІЙ: СПОЧАТКУ ЗНІМАЙТЕ ЗАЧЕПЛЕННЯ І ЛИШЕ ПОТІМ ВИКЛЮЧАЙТЕ МОТОР!

4.Відповідно до завдання керівника, закріплюють на заданій відстані l грузик mg, включають секундомір і вимірюють час t повороту гіроскопа на заданий кут . Визначення часу повороту на

заданий кут проводять 3 рази для кожного заданого грузика mg. Результати вимірів заносять у таблицю 1.

10

Таблиця 1

1

2

3

6.ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРІВ

1.Знаходимо середнє значення часу повороту гіроскопа на кут для кожного з трьох грузиків.

обчислюємо середнє значення кутової швидкості обертання гіроскопа.

6.Кінцевий результат записуємо у видгляді:

cp 2S рад/с.

7.РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ОФОРМЛЕННЯ ЗВІТУ

1.У розділі "Прилади" укажіть межу вимірів, ціну поділки і точність відліку електричного секундоміра і транспортира.

2.У розділі "Застосовувані розрахункові формули" приведіть формули

(5) і (6).

3.У розділі "Обробка результатів вимірів" зробіть підстановку числових даних у формули (5) і (6).