3. Вимоги, що ставляться до системи автоматичного регулювання.

Ефективність CAP у кожному конкретному випадку визначається ступенем задоволення поставлених до неї вимог. Найважливішою вимогою є забезпечення функціональної залежності між сигналами на вході і виході системи. Абсолютно точної рівності цих сигналів досягти неможливо. Чим точніше відповідає регульована величина задаючому діянню, тим складнішою виходить CAP. При розробці систем прагнуть знайти розумний компроміс між високою якістю роботи і простотою технічної реалізації CAP. Вимоги до CAP різні і визначаються багатьма факторами. Звичайно ставлять вимоги:

• до запасу стійкості;

• до величини помилки в усталеному режимі (статичної точності);

• до поведінки системи в перехідному процесі при певних діяннях;

• до динамічної точності при діяннях, шо неперервно змінюються.

Через зворотні зв'язки CAP схильні до коливань, тому вимогу до стійкості треба виконувати в повному обсязі. Нестійка система взагалі непрацездатна Стійкість системи не повинна порушуватись під час роботи в результаті змін внутрішніх і зовнішніх умов. Це гарантують створенням певного запасу стійкості.

Системи автоматичного регулювання повинні мати високу надійність дії і бути безпечними в роботі. Невід'ємною якістю є економічна ефективність систем.

CAP мають передбачати швидкий перехід від автоматичного до ручного керування і навпаки.

У CAP треба застосовувати типові технічні засоби. До розробки і виготовлення нових елементів автоматики приступають тільки в тому разі, коли відомі елементи застосовувати неможливо.

Конкретна конструкція CAP повинна забезпечувати зручність в експлуатації, простоту контролю за справністю окремих вузлів, ремонт та заміну окремих деталей. У багатьох випадках доцільно передбачати в разі несправності заміну цілих блоків. Особливо легкий доступ слід забезпечувати до деталей, які швидко спрацьовуються, та елементів налагоджування системи.

4 Години

Лекція 5

Аналітичний опис елементів автоматики. Здобуття статичних і

динамічних характеристик систем автоматичного

регулювання.

1. Аналітичний опис елементів автоматики.

Щоб мати характеристики елементів автоматики, треба мати їх диференціальні рівняння. Найважче описувати регульовані об'єкти. В теорії систем автоматичного регулювання в основному застосовують чотири способи складання рівнянь динаміки.

Перший спосіб. Диференціальне рівняння складають аналітично на основі аналізу фізичних процесів, що відбуваються в елементі або

об'єкті.

Другий спосіб. Експериментальне визначають статичні і динамічні характеристики об'єкта або елемента. Зображують у вигляді графіка криву перехідного процесу, за якою визначають диференціальне рівняння.

Третій спосіб. На основі експерименту складають таблиці. Обробляють матеріал за допомогою регресійного аналізу.

Четвертий спосіб. Характеристики дістають на основі аналогового або цифрового моделювання елемента або об'єкта.

Крім того, комплексний коефіцієнт передачі визначають методом пасивного експерименту за спектральною густиною вихідних і вхідних випадкових стаціонарних процесів елемента або системи. Застосовують також методи, що ґрунтуються на подачі імпульсного і періодичного збурення.

Порядок диференціальних рівнянь залежить від складності процесів, що відбуваються в елементі, і від прийнятих допущень. Найкращі результати дає аналітичний опис регульованих об'єктів та елементів автоматики.

Як приклад розглянемо аналітичний опис дуже поширеного елемента автоматики - термопари, який перетворює теплову енергію в електричну.

В усталеному режимі температура робочого спаюдорівнює температурісередовищаяке оточує термопару. При рівновазі ЕРС термопари Е має певнезначення, тому справедливий вираз

де k - сталий коефіцієнт.

Перенесемо миттєво термопару із зони з якоюсь незмінною температурою в зону з температурою 0_С. Кількість переданої за нескінченно малий відрізок часу й одержаної теплоти відповідно визначиться рівняннями:

де- коефіцієнт тепловіддачі;S_p - площа поверхні робочого спаю;температура середовища;- температура робочого спаю:- маса робочогоспаю; с_р - питома теплоємність матеріалу робочого спаю; - приріст

температури спаю при нагріванні протягом часу dt.

З умови рівностіможемо записати

або, підставивши значенняіз виразу (2.40),

Величини- сталі для цієї термопари. Коефіцієнт передачі к має

розмір В/К. Визначимо розмір коефіцієнта при похідній

Отже, можна позначити

де Т - стала часу термопари.

Ураховуючи, що вхідною величиною термопари є температура середовища а вихідною - ЕРС Е, то у загальному випадку рівняння термопари

Розглянемо ще приклад аналітичного опису регульованого об'єкта з виконанням лінеаризації характеристики. Опишемо аналітичне повітряний ресивер (рис. 2.2). Припустимо, що на вході ресивера переріз труби становитьа на виході Через перерізу ресивер об'ємомV надходить газ під тискомІз ресивера газ через переріз іде до споживача під тиском При цьому в об'єкті встановлюється тиск разу Р. Перехідний процес в об'єкті можна описати рівнянням

де- густина газу в ресивері;- відповідно масові витрати, що

проходять через перерізиі

Якщо температура газу не змінюється, то рівняння (2.47) має вигляд

де R - газова стала; Т - абсолютна температура газу.

Масову витрату газу через перерізможна визначити за формулою

де- коефіцієнт витрати через переріз- параметр, що є функцією від

показника адіабати.

Масову витрату газу через перерізвизначимо за залежністю

Підставимо (2.49) і (2.50) у рівняння (2.48) і дістанемо рівняння, яке описує динаміку об'єкта,

В усталеному режиміотже,

звідки після перетворення можна записати рівняння статики об'єкта

Тут вихідною величиною є переріззаслінки, а вихідною - тиск газу в

об'єкті Р. Статична характеристика ресивера є істотно нелінійна (рис. 2.19, а).

Лінеаризуємо її в точці А, застосувавши залежність (2.8) до вихідного рівняння

(2.51) Тоді при незмінностіі

де- відповідно значення тиску Р в об'єкті і перерізув усталеному

режимів робочій точці.

З урахуванням добутих залежностей лінеаризоване рівняння у приростах матиме вигляд

Статичної рівноваги регульованого об'єкта в робочій точці буде досягнуто при dp/dt=0 у рівнянні (2.51) і відповідних значеннях параметрів. Із цієї умови дістанемо масову витрату газу для усталеного режиму:

Поділимо ліву і праву частини рівняння (2.57) наі введемо відносні

змінні, враховуючи, що

Поділивши ліву і праву частини рівняння (2.59) впишемо залежність у вигляді

Визначимо розмір коефіцієнта при похідній

Отже можна позначити

де Т₀ - стала часу регульованого об'єкта. Введемо позначення:

Запишемо рівняння об'єкта з урахуванням введених позначень

При S2=const матимемо

У добутому рівнянні змінні Хвих і Хвх є функціями часу.

Таким чином, дістали лінійне диференціальне рівняння, яке описує динамічні процеси в розглядуваному регульованому об'єкті. Параметру (2.63) єстепенем самовирівнювання регульованого об'єкта Із введених позначень видно, що він не має розміру і є додатною величиною. Однак у режимах приможе

досягати нескінченно великих і навіть від'ємних значень. Розглянемо поведінку об'єкта в усіх цих випадках.

Випадок L. За рівнянням (2.63) зображення вихідної величини запишемо у вигляді

Досліджувати об'єкт будемо при одиничному вхідному діянні, що відповідає З урахуванням цього

Розкладемо дріб у квадратних дужках на елементарні дроби і дістанемо

Здійснивши зворотний перехід, дістанемо

Випадок 2. За рівнянням (2.63) зображення вихідної величини матиме

вигляд

З урахуваннямдістанемо

Здійснивши зворотний перехід, запишемо рівняння

Випадок 3.Зображення вихідної величини при від'ємному значенні

або

Розклавши дріб у квадратних дужках на елементарні дроби, дістанемо

Рівняння (2.71) розв'яжемо, здійснивши зворотний перехід від зображення (2.73) до оригіналу:

Перехідні характеристики ресивера як регульованого об'єкта при різних степенях самовирівнювання, побудовані за залежностями (2.67), (2.70) і (2.74), показані на рис. 2.19, б. При р<0 (крива 1) об'єкт має від'ємне самовирівнювання. Якщооб'єкт має нульове самовирівнювання (крива 2). У цих двох випадках

стійку роботу регульованого об'єкта без регулятора забезпечити неможливо. Об'єкт матиме додатне самовирівнювання, коли р>0 (крива 3). Переміщення заслінки на вході на певну величинузабезпечить поступове зростання або спад тиску дозаданого значення Р₀.

2. Здобуття статичних і динамічних характеристик систем автоматичного регулювання.

Ряс. 2.20. Елемент підсумовування (а) і порівняння (б)

Відомі властивості окремих елементів дають змогу визначати статичні й динамічні характеристики всієї системи автоматичного регулювання, розглядаючи і змінюючи її структуру. Структурні компонування CAP здійснюють трьома способами з'єднання елементів між собою - послідовним, паралельним і замиканням зворотного зв'язку Сигнали на вході і виході окремих елементів додають або віднімають, застосовуючи відповідно підсумовуючі пристрої та елементи порівняння (рис. 2.20). Послідовне з'єднання (рис. 2.21, а) характеризується тим, що вихідна величина попереднього елемента є вхідною для наступного. У паралельному з'єднанні (рис. 2.21, б) на вхід усіх елементів подають одну й ту саму величину Х_вх. Вихідна величина дорівнює сумі вихідних сигналів усіх елементів. При замиканні зворотним зв'язком (рис. 2.21, в) вихідна величина Х_вих, пройшовши через елемент зворотного зв'язку ЕЗЗ, надходить на вхід елемента, додаючись до вхідного сигналу або віднімаючись від нього. Дуже часто в системах здійснюють пряму подачу вихідного сигналу на вхід. Такий зворотний зв'язок називають одиничним. Зворотні зв'язки можуть бути додатними й від'ємними, жорсткими і гнучкими, зовнішніми і внутрішніми. Елемент 1 у схемах може вважатися як окремим пристроєм, так і складним їх з'єднанням, що мають і зворотні зв'язки.

За відомими статичними характеристиками елементів і способом їх з'єднання будують результуючі статичні характеристики систем автоматичного регулювання. Статичні характеристики елементів задають аналітичне або графічно. Для лінійних елементів результуючу статичну характеристику можна знайти аналітичне, використовуючи розглянуті властивості з'єднань (рис. 2.21). Універсальним є графічний спосіб побудови результуючих характеристик CAP.

Методика побудови результуючої статичної характеристика трьох послідовно з'єднаних елементів показана на рис. 2.22. У декартовій системі координат будуємо характеристики І, II та III. Беремо вхідну величину (точка 1) і, враховуючи, що при послідовному з'єднанні вихідна величина попереднього елемента є вхідною для наступного, здійснюємо побудову відповідно до рисунка. Точку 8 результуючої характеристики IV дістаємо в останньому квадранті. Виконавши низку таких побудов, дістаємо результуючу характеристику послідовного з'єднання. При великій кількості елементів побудову здійснюємо в інших квадрантах, на одній осі відкладаючи вхідну, а на другій - вихідну величину.

При паралельному з'єднанні (рис. 2.23) усі характеристики будуємо в одному квадранті. Беремо вхідну величину (точка l) і з огляду на те, що при паралельному з'єднанні вхідна величина спільна для всіх, елементів, визначаємо ординати (2, З, 4). Підсумовуючи ординати, дістаємо точку 5, що належить результуючій характеристиці. Повторивши низку побудов, дістаємо результуючу характеристику IV Побудову легко виконати для будь-якої кількості елементів.

Рис. 2.23, Побудова результуючої статичної характеристики трьох паралельно з'єднаних елементів:I, II, III — характеристики елементів: IV — результуюча характеристика

Побудова статичної характеристики з'єднання при замиканні зворотним зв'язком показана на рис. 2.24, На кресленні наносимо характеристики з'єднання І, що замикається зворотним зв'язком, і елемента зворотного зв'язку П. Беремо вхідну величину (рис. 224, а, точка 1) і визначаємо вихідну величину елемента зворотного зв'язку (точка 5). Оскільки при замиканні від'ємним зворотним зв'язком сигнали на вході з'єднання віднімаються, наносимо точку 8, що відповідає результуючому значенню вхідної величини, їй відповідатиме вихідний сигнал, що визначається за характеристикою І. Цей вихідний сигнал при поданому вхідному визначає точку 10 на результуючій характеристиці Ш з'єднання. При додатному зворотному зв'язку вхідний сигнал збільшують (рис, 2.24, б, точка 8). Виконавши потрібну кількість побудов, дістаємо результуючу характеристику Ш.

Рис. 2.24. Побудова результуючої статичної характеристики при заміненні негативним (а) і позитивним (б) зворотними зв'язками:

І - характеристика елемента, що охоплюється: ІI — елемента зворотнього зв`язку: III — результуюча.

Відповідно до розглянутих правил дістають результуючі характеристики замкнутих систем автоматичного регулювання.

Динамічні характеристики звичайно дістають за передаточними, функціями систем, що визначаються з використанням способу з'єднання елементів і таких залежностей.

При послідовному з'єднанні елементів

де Wi(p) і Wo(p) - відповідно передаванні функції з'єднання, що охоплюється зворотним зв'язком, і колом зворотного зв'язку. Якщо зворотний зв'язок від'ємний, ставлять знак плюс, при додатному - мінус.

Використовуючи залежності (2.75)-(2.77), можна CAP будь-якої структурної складності звести до якогось узагальненого елемента, охопленого зовнішнім зворотним зв'язком, який з'єднує вихід системи зі входом. Передаточну функцію узагальненого елемента називають передаточною функцією розімкнутої системи W_p(p). З урахуванням зворотного зв'язку можна дістати передаточну функцію замкнутої системи W (р) за залежністю (2.77)

Звичайно зовнішній зворотний зв'язок завжди одиничний, тобто Wo(p)=l. З урахуванням цього передаточна функція замкнутої системи

Вихідна (регульована) величина системи завжди одна й та сама. Вхідні величини можна брати різними. У зв'язку з цим можна розглядати різні передаточні функції систем Найчастіше визначають передаточні функції за допомогою керуючого діяння, проте можна мати й передаточні функції за задавальним діянням і за помилкою.

За допомогою результуючих передаточних функцій W_p (p) і W₃ (p) можна за розглянутою раніше методикою дістати всі необхідні характеристики систем. Багато які з них при побудові відзначаються трудомісткістю, що потребує застосування наближених методів. Результуючу логарифмічну амплітудну частотну характеристику розімкнутої одноконтурної системи можна будувати, користуючись наближеним способом.

Передаточну функцію розімкнутої одноконтурної системи можна записати у вигляді

де v - порядок астатизму (кількість інтегруючих ланок). Прологарифмувавши цей вираз після підставляннязамість р і перетворення,неважко пересвідчитись, що ЛАЧХ одноконтурної системи можна дістати підсумовуванням ординат ЛАЧХ окремих, що входять до CAP, елементів.

При цьому визначають сполучні частотиі т. д. і наносять

їх на осі частот. Проводять низькочастотну асимптоту, яка приє прямою з

нахилом Ця пряма при повинна мати ординату -

коефіцієнт підсилення розімкнутої системи. Після кожної із сполучних частот

змінюють нахил характеристикиЯкщо сполучна частота належить елементу з

передаточною функцією нахил змінюють нана

-40дБ/дек при'на +20дБ/дек при на

-40дБ/дек при При високих частотах (більших від

найвищої сполучної частоти) асимптота ЛАЧХ повинна мати нахил -20:,

де- порядок знаменника;- порядок чисельника передаточної функціїW_p(p), враховуючи добуток співмножників чисельника і знаменника.

Логарифмічну фазову частотну характеристику розімкнутої одноконтурної системи дістають також в результаті простого додавання ординат ЛФЧХ окремих елементів, що входять до системи.