Вопросы и задания
1. Какой набор элементов входит типовую структурную схему САУ ?
2. Приведите классификацию САУ.
3. Поясните принцип прямого управления в САУ разомкнутого типа. Назовите достоинства и недостатки данной САУ.
4. Поясните принцип управления в САУ по возмущению. Назовите достоинства и недостатки данной САУ.
5. Поясните принцип управления в САУ по отклонению. Назовите достоинства и недостатки данной САУ.
1. Линейные сау
1.1. Линеаризация элементов сау. Преобразование Лапласа. Передаточные функции. Типовые воздействия и реакция на них
Все элементы САУ (общее название элементов - звенья) выполняют преобразования входных сигналов в выходные. Эти преобразования описываются как алгебраическими, так и дифференциальными уравнениями.
Линейными называются САУ, все звенья которых описываются линейными дифференциальными и алгебраическими уравнениями.
Методы расчетов САУ базируются, в основном, на использовании свойств решений дифференциальных уравнений. Наиболее простыми и систематически проработанными являются методы решения линейных дифференциальных уравнений. Методы решения дифференциальных уравнений, применяемые в расчетах линейных САУ, используются также фрагментарно в расчётах нелинейных, импульсных и других типов САУ.
Если не накладывать ограничений на пределы изменения входных сигналов реальных, физических объектов, то в общем случае они описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Например, линейные электронные усилители при больших уровнях входных сигналов входят в насыщение. В то же время физические объекты при малых изменениях входных сигналов практически не проявляют нелинейных свойств и, поэтому, могут быть описаны линейными дифференциальными уравнениями. Операция замены нелинейного дифференциального уравнения приближённым линейным дифференциальным уравнением называется линеаризацией.
1.1.1. Линеаризация дифференциальных уравнений
Основные этапы линеаризации (рис.1.1):
1. На графике нелинейной
функции отмечается точка 0
начального режима. Обычно эта точка
соответствует номинальному режиму
работы звена.
2. В этой точке проводится касательная 3-4 и при малых отклонениях истинная кривая 1-2 заменяется отрезком касательной прямой.
3. Вводится новая система координат - отклонения x и y. В этих координатах линеаризованное уравнение имеет вид
Δу=kΔx (1.1)
Для дальнейших расчетов важно также то, что начальные условия для линеаризованного уравнения являются нулевыми, т.е. при Δx=0 также и Δу=0.
Линеаризация участка 1-2 с помощью касательной не является единственно возможной, например, участок 1-2 можно заменить хордой или секущей. Однако вычисления линеаризованной кривой производятся наиболее просто с использованием касательной линии в точке 0 начального состояния.
Исходными данными для линеаризации является аналитическое выражение нелинейности, записанное в форме
Это уравнение в окрестности точки 0 может быть разложено в ряд Тейлора, и при малой указанной окрестности будет содержать только приращения первой степени:
(1.2)
Выражение
(1.3) является линейным относительно
входящих в него переменных
и оно описывает плоскость, касательную
в точке0.
Рассмотрим более подробно технику линеаризации на числовом примере.
Дано:
Дифференциальное
уравнение (ДУ)
(1.3)
при начальных
условиях:
.
Задание: Линеаризовать (1.3), используя выражения (1.2).
Решение:
Сначала,
используя выражение
и начальные условия (1.3), находим
производные
а затем подобно (1.2) записываем линеаризованное дифференциальное уравнение
Далее в расчетах линейных САУ будем использовать только линейные ДУ и потому знак будем опускать:
(1.4)
Уравнение (1.4) заменяет исходное нелинейное дифференциальное уравнение (1.3) в малой окрестности δ около точки начальных условий.
1.1.2. Формы записи линейных дифференциальных уравнений
Линейные ДУ могут быть записаны в естественной, символической и операторной формах.
Естественная форма:
(1.5)
Если производная
имеет порядок не выше 2-го, то можно
использовать верхние точки в обозначениях
производных:
.
Символическая форма:
Производная
n-го
порядка заменяется символом
.
После замены уравнение (1.5) примет более простой вид:
(1.6)
Уравнение, записанное в такой форме, можно преобразовывать как алгебраическое. Однако решение уравнение не упрощается.
Операторная форма:
В
основе операторной формы записи уравнения
лежит преобразование Лапласа: 
Если применить преобразование Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (1.5), то при рулевых начальных условиях для переменных х и у и их производных можно получить следующее операторное уравнение:
(1.7)
Следует обратить внимание формальное совпадение записей в символической (1.6) и операторной (1.7) формах. Однако смысл символа p в операторной и символической формах совершенно различен – если в первой форме p является символом, и вводится исключительно для упрощения записи уравнения, то во втором – это комплексная переменная р, введение которой влечет за собой простой подход к решению уравнения.
Операторная форма записи является основной формой, используемой в теории автоматического управления.
1.1.3. Передаточная функция
Учитывая то, что звенья описываются дифференциальными уравнениями, реальные сигналы заменяются их изображениями по Лапласу и дальнейшие расчеты ведутся в операторной форме.
Передаточная функция W(p)– это отношение изображений выходного y(p) и входного x(p) сигналов при нулевых начальных условиях:
(1.8)
1.1.4. Таблица преобразований Лапласа
В ТАУ подавляющее большинство задач решается с использованием передаточной функции W(p) и изображений х(р) от нескольких простейших функций x(t) (табл.1.1).
Таблица 1.1
Таблица преобразований Лапласа
|
Оригинал x(t) |
Изображение x(p) |
Название |
|
|
1 |
Дельта-импульс |
|
1(t) |
|
Единичный сигнал |
|
t |
|
Линейная функция |
|
|
|
Экспонента |
|
|
|
Затухающие гармонические функции |
|
|
|
Затухающие гармонические функции |
1.1.5. Типовые воздействия и реакции на них
Методы ТАУ позволяют рассчитать реакцию на любое входное воздействие, однако систематизированные результаты, обладающие некоторыми закономерностями, можно получить для ограниченного ряда входных сигналов. В качестве типовых входных сигналов рассматривают те, которые чаще всего встречаются на практике, а также в некотором смысле являются наиболее сложными для отработки их САУ.
Реакция на единичный скачок 1(t) - переходной процесс h(t) (рис.1.2)
В
электрических системах единичному
скачку соответствует включение напряжения
питания. Этот вид сигнала является для
системы наиболее тяжелым для отработки.
Если система отработает этот сигнал с
заданными показателями качества, то
наверняка будет качественно работать
при других плавно изменяющихся сигналах.
Реакция на
дельта-импульс
- функция веса k(t)(рис.1.3)
Дельта-импульс
имеет нулевую длительность, бесконечную
амплитуду и единичную площадь (S=1).
Дельта-импульсу соответствует помеха
в электрических схемах и удар в
механических системах. Математический
аппарат и свойства функции веса широко
используется в расчётах импульсных
САУ.
Реакция на гармонический сигнал - частотные характеристики (рис.1.4)
Если
на вход линейной системы воздействует
гармонический сигнал с амплитудой Xm
и фазой x,
то на выходе будет сигнал той же частоты,
однако другой амплитуды Ym
и фазы y.
Изменения амплитуды Ym и фазы y выходного сигнала y(t) зависят от частоты входного сигнала x(t). Эти зависимости определятся следующие частотные характеристики: АЧХ (амплитудно-частотную) и ФЧХ (фазо-частотную):
АЧХ:
- коэффициент передачи (усиления) звена
на данной частоте, равный отношению
амплитуд сигналов;
ФЧХ:
- сдвиг по фазе между выходным и входным
сигналами.
Частотные характеристики очень просто находятся с использованием выражения передаточной функции W(p) (см. тему 1.3).