5.7 Интеграл дюамеля

Интеграл Дюамеля используется для определения выхода объекта у(t) при произвольном входом сигнале x(t) и известных h(t) либо w(t). Предполагается, что на вход объекта, описываемого весовой функцией w(t), подается сигнал x(t)

(рис. 3.12, а), подробное описание которого дано в п. 2.8.Если реакцию объекта на обозначить через(весовая функция), а реакцию на−(приближенная весовая функция), то на основании принципа суперпозиции можно записать выходной сигнал на импульс

Рис. 5.12 Представление входного (а) и выходного сигналов (б)

Замена входного сигнала x(t) набором импульсов, высота которых совпадает с соответствующими координатами (рис. 5.12), позволяет записать реакцию на ступенчатую функцию на основании принципа суперпозиции

Последнее уравнение называется интегралом Дюамеля (уравнением свертки), отражающим свіязь между входом, выходом объекта и его весовой функцией. По сути дела весовая функция является памятью объекта, которая показывает, как долго и как сильно влияет на объект импульсное возмущение, поданное на его вход в момент времени τ = 0. Из физического смысла весовой функции верхний предел интегрирования может быть заменен на t,так как невозможно представить реальную систему, в которой на выходную координату в настояний момент времени оказывают влияние возмущения, которые появляются в последующие моменты времени.Если произвести замену в формуле (13) ξ = τ = t , , то можно записать симметричную формулу (14)

(14)

Если для представления входного сигнала использовать не формулу (2.26), а (2.27), то интеграл Дюамеля записывается через переходную функцию:

(15)

Или

5.8 Преобразование лапласа

Основным математическим аппаратом, который используется в теории автоматического управления,является специальный метод прикладного анализа, так называемый операционный метод, в основе которого лежит функциональное преобразование Лапласа.

5.8.1 Определение преобразования Лапласа

Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию х(s) другой переменной s при помощи оператора, определяемого соотношением

(16)

где x(t) – оригинал функции; x(s) – изображение по Лапласу функции x(t); s – комплексная переменная s = α + i ω .

Формула (16) определяет прямое преобразование Лапласа. Возможно и так называемое обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал. Оно определяется соотношением

(17)

где с – абсцисса сходимости функции x(s).

Для большинства функций, встречающихся на практике, составлены таблицы соответствия между оригиналами и изображениями. Изображения некоторых наиболее часто встречающихся функций в теории управления приведены в табл. 5.1. Если же функция отсутствует в таблице, то ее изображение можно получить непосредственно, пользуясь соотношением (16).

Пример 5.1 Требуется найти преобразование Лапласа от функции .

Согласно определению преобразования Лапласа (16) имеем

Таким образом,

Широкое применение преобразования Лапласа обусловлено тем, что изображение некоторых функций оказывается проще их оригиналов и ряд операций, таких как интегрирование, дифференцирование над изображениями проще, чем соответствующие операции над оригиналами.