10.3. Оценка состояния

В предыдущих разделах была рассмотрена методика синтеза систем, основанная на размещении полюсов в заданных точках плоскости корней. В этом случае закон управления определяется выражением

, (10-9)

а это подразумевает, что все переменные состояния объекта могут быть измерены. В подобных случаях говорят, что в системе используется полная обратная связь по состоянию. Для систем первого и второго порядка полная обратная связь по состоянию достаточно очевидна. Во многих системах второго порядка, проектируемых классическими методами, используется обратная связь и по положению, и по скорости; следовательно, они являются системами с полной обратной связью по состоянию. Однако существует много систем, которые невозможно точно описать моделями первого или второго порядка. В большинстве таких систем невозможно измерить все переменные состояния, чтобы реализовать метод синтеза, основанный на размещении полюсов. В таких системах имеются переменные состояния, которые не могут быть непосредственно измерены, и они должны быть оценены в результате некоторого наблюдения за поведением объекта. Затем эти переменные используются в уравнении 10-9).

Предположим, что задана непрерывная система с одним входом и одним выходом, описываемая уравнениями:

Необходимо получить оценку вектора состояния системы , которую мы будем обозначать. В процессе оценки мы будем использовать всю доступную информацию, т.е. входной сигнал, измеренное значение выходаи матрицы системы,и. Вектор состоянияв любой момент времени неизвестен, в частности, мы не знаем начальных условий.

На рис.10.3 приведена блок-схема процесса оценки состояния. Устройство оценки состояния, называемое также наблюдателем состояния(или простонаблюдателем), имеет ту же динамику, что и сама система. Тогда уравнение наблюдателя можно записать в виде:

. (10-10)

Матрицы ,идолжны быть выбраны таким образом, чтобыдавал точную оценку вектору состояния системы. Тогда в системе управления векториспользуется для формирования сигнала обратной связи.

Уравнения для определения матриц ,имогут быть получены разными способами; мы воспользуемся методом передаточной функции [10]. Суть его заключается в том, что передаточная функция от входак переменной состояния наблюдателядолжна быть равна передаточной функции отк переменной состояния системыдля всех, т.е.

,. (10-11)

Получим уравнения для определения ,и, удовлетворяющие условию (10-11). Преобразование Лапласа уравнений (10-9) дает:

Игнорируя начальные условия , решим эти уравнения относительно:

(10-12)

Заметим, что есть матричная передаточная функция, т.е. матрица, элементы которой являются передаточными функциями. Матричная передаточная функция откдолжна быть такой же, как и в выражении 10-12).

Преобразуя по Лапласу уравнение наблюдателя 10-10), получим (игнорируя начальные условия):

,(10-13)

поскольку . Отсюда, учитывая 10-12), выразим:

(10-14)

Потребуем, чтобы передаточные функции в уравнениях 10-14) и 10-12) были равны:

.( 10-15)

Группируя коэффициенты при члене , получим:

.

Затем из левой стороны этого уравнения вынесем в качестве сомножителя:

.

Это уравнение удовлетворяется, если равны вторые сомножители в левой и правой части, т.е.

,

или

.

Это уравнение удовлетворяется, если мы выберем и. Следовательно, матрицы наблюдателя состояния определяются в виде:

( 10-16)

Заиетим, что матрицы имогут быть выбраны таким образом, чтобы матричные передаточные функции 10-16) были бы равны независимо от матрицы. Поэтому, матрицуможно выбрать, исходя из приемлемого вида переходной функции или необходимых частотных характеристик наблюдателя состояния.

На основании (10-10) и (10-16) имеется возможность представить уравнение наблюдателя состояния в виде:

, (10-17)

где матрица подлежит определению. Для этого полезно рассмотреть ошибку, возникающую в процессе оценки состояния. Введем вектор ошибки в виде

,

или

. (10-18)

Производная вектора ошибки, согласно (10-18), равна:

.

Подставляя в это уравнение выражения 10-9) и 10-17), получим:

. (10-19)

Поскольку, то 10-19) можно записать иначе:

или

. (10-20)

Это уравнение показывает, что ошибка оценки состояния имеет ту же самую динамику, что и наблюдатель состояния, т.к. характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению 10-20), имеет тот же вид, что и характеристическое уравнение наблюдателя 10-17), а именно

. (10-21)

Матрица обычно выбирается так, чтобы переходный процесс в наблюдателе заканчивался быстрее, чем переходный процесс в системе. Эмпирически установлено, что наблюдатель должен обладать быстродействием, в 2-4 раза превышающим быстродействие системы.

Все приведенные выше рассуждения являются математически строгими относительно математической модели. Но реальная система отличается от математической модели, что ухудшает работу системы с идентификатором за счет не учета следующих факторов:

1. При выводе уравнения предполагалось, что модель системы является точной. Следовательно, при получении уравнения ошибки 10-20) считалось, что матрицы ,идля наблюдателя совпадают с соответствующими матрицами реальной системы. Но на самом деле это не так, поэтому уравнение для ошибки 10-20) будет более сложным.

2. При выводе уравнений не учитывались возмущения, действующие на реальную систему. Если их учитывать, то модель реальной системы в переменных состояния будет отличаться от уравнений 10-9) и запишется в виде:

, (10-22)

.

В этих уравнениях есть вектор возмущений, а членучитывает ошибки датчиков. Если эти уравнения подставить в уравнение для ошибки 10-20), то получим:

. (10-23)

Отсюда видно, что ошибка с течением времени не сводится к нулю, даже если пренебречь неточностями моделирования.

Следует заметить, что использование в системах сигналов с выхода наблюдателя, а не с выхода датчика может приводить к серьезным ошибкам. С помощью наблюдателя управление системой осуществляется не на основе измеренных переменных состояния, а на основе вычисленных переменных. Если эти вычисления организованы недостаточно корректно, то истинные значения переменных состояния могут изменяться в одном направлении, а их вычисленные значения совсем в другом, т.е. ошибка оценки состояния может расходиться. Если же в качестве сигнала обратной связи использовать выход соответствующего датчика, то можно быть уверенным, что этот сигнал достаточно точно отражает значение переменной состояния за исключением, конечно, случая отказа датчика. Если же в качестве сигнала обратной связи использовать оценку переменной состояния, то действие наблюдателя следует многократно проверить и убедиться, что он правильно функционирует при всех возможных условиях работы системы.