1.2.2 Применение теоремы о кинетическом моменте для доказательства свойств гироскопа

Теорема о кинетическом моменте позволяет доказать основные свойства гироскопа.

Устойчивость главной оси свободного гироскопа. Для доказательства этого свойства необходимо в выражение (1.5) подставить значение , так как условие свободного гироскопа означает, что он свободен от действии каких-либо моментов внешних сил.

Следовательно, для свободного гироскопа , т. е..

Иначе говоря, значение и направление кинетического момента гироскопа постоянны. Имея в виду, что(где осевой момент инерциигироскопа — величина постоянная), можно сделать вывод, что угловая скоростьтакже постоянная.

Известно, что для быстровращающегося гироскопа направление кинетического момента совпадает с направлением оси X гироскопа, т. е. с направлением его главной оси. Следовательно, неизменность направлениясвидетельствует о неизменности направления в пространстве главной оси свободного гироскопа. Это подтверждает свойство устойчивости главной оси свободного гироскопа в пространстве.

Прецессия гироскопа. Рассмотрим гироскоп (рис. 1.6), на который действует сила , создающая моментвокруг какой-либо оси, не совпадающей с главной осью гироскопа (на рисунке вокруг оси Y). Как известно, кинетический момент быстровращающегося гироскопа следует считать направленным по главной оси. Конец вектора обозначимN.

Согласно теореме Резаля выражениеозначает, что конец вектора, т. е. точка N, приобретает линейную скорость, равную и параллельную вектору момента.

Н

Рис. 1.5. К объяснению второго свойства гироскопа - прецессии

а рис. 1.5 видно, что движение главной оси гироскопа происходит не в направлении действии приложенной силы, а в плоскости ХОУ перпендикулярно силе в направлении момента этой силы, т. е. мы наблюдаем случай прецессионного движения гироскопа. Оно возникает тогда, когда моментприложенных сил не совпадает по направлению с моментом.

Рассматривая рис. 1.5. сформулируем правило, пользуясь которым, можно на практике определять направление прецессии: прецессионное движение всегда совершается в том направлении, в котором вектор кинетического момента кратчайшим путем поворачивается к вектору моментаприложенной силы. Угловая скоростьпрецессионного движения гироскопа численно равна линейной скорости, деленной на радиус вращении, т. е. наH: . Но по теореме Резаля , поэтому

(1.9)

Формула (1.9) выражает очень важный в прикладной теории гироскопов закон прецессии. Таким образом, угловая скорость прецессии прямо пропорциональна приложенному моментувнешних сил и обратно пропорциональна кинетическому моментугироскопа.

Устойчивость к удару. Математическое выражение (1.5) теоремы о кинетическом моменте можно представить в конечных приращениях

или

Рис. 1.5. К объяснению второго свойства гироскопа - удароустойчивости

(1.10)

Полученное выражение можно трактовать следующим образом: момент внешней силы , действующий на гироскоп в течение малого (в пределе бесконечно малого) времени, вызывает малое (в пределе бесконечно малое) изменение кинетического моментапо направлению (рис. 1.6).

Угловое изменение . Если момент внешней силы действовал очень короткий интервал времени, то даже при большом значении моментавеличина, следовательно, мал угол . Отсюда вытекает важный практический вывод о том, чту импульс силы (удар) способен лишь незначительно изменить положение главной оси быстровращающегося гироскопа.