- •Змістовий модуль 10
- •10.1. Функції двох змінних
- •10.1.1. Основні поняття
- •10.1.2. Границя функції
- •10.1.3. Неперервність функції двох змінних
- •10.1.4. Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області
- •10.2. Похідні і диференціали функцій декількох змінних
- •10.2.1. Частинні похідні першого порядку та їх геометричний зміст
- •Геометричний зміст частинних похідних функції двох змінних
- •10.2.2. Частинні похідні вищих порядків
- •10.2.3. Диференційовність і повний диференціал функції.
- •10.2.4. Застосування повного диференціала для наближених обчислень
- •10.2.5. Диференціали вищих порядків
- •10.2.6. Похідна складної функції. Повна похідна
- •10.2.7. Інваріантність форми повного диференціала
- •10.2.8. Диференціювання неявної функції
- •10.3. Дотична площина і нормаль до поверхні
- •10.4. Екстремум функції двох змінних
- •10.4.1. Основні поняття
- •10.4.2. Необхідні і достатні умови екстремуму
- •10.4.3. Найбільше і найменше значення функції в замкнутій області
10.1.2. Границя функції
Для функції двох (і більшого числа) змінних вводиться поняття границі функції і неперервності, аналогічно випадку функції однієї змінної. Введемо поняття околу точки. Множина всіх точок площини, координати яких задовольняють нерівності називається – околом точки . Іншими словами, -окіл точки - це всі внутрішні точки круга з центромі радіусом(див. рис. 2).
Рис. 2
Нехай функція визначена в деякому околі точки окрім, можливо, самої цієї точки . Числоназиваєтьсяграницею функції при при (або, що те ж саме, при ), якщо для будь-якогоіснує таке , що для всіх і задовольняють нерівність виконується нерівність. Записують: або
З визначення витікає, що якщо границя існує, то вона не залежить від шляху, по якому прямує до(число таких напрямів нескінченне; для функції однієї змінної по двох напрямах: справа і зліва!)
Геометричний зміст границі функції двох змінних полягає в наступному. Яке б не було число , знайдеться- окіл точки , що у всіх її точках , відмінних відаплікати відповідних точок поверхні відрізняються від числа по модулю менше ніж на .
Приклад 1. Знайти границю .
Будемо наближатися до по прямій, де– деяке число. Тоді
Функція в точці границі не має, так як при різних значеннях границя функції не однакова (функція має різні граничні значення).
Границя функції двох змінних володіє властивостями, аналогічними властивостям границі функції однієї змінної (див. п. 17.3). Це означає, що справедливі твердження: якщо функції івизначеніна множині і мають в точціцієї множини межіівідповідно, то і функції,, мають в точці границі, які відповідно рівні ,,.
10.1.3. Неперервність функції двох змінних
Функція (або) називаєтьсянеперервною в точці , якщо вона:
а) визначена в цій точці і деякому її околі;
б) має границю ;
в) ця границя рівна значенню функції в точці, тобто
або .
Функція, неперервна в кожній точці деякої області, називається неперервною в цій області. Точки, в яких неперервність порушується (не виконується хоча б одна з умов неперервності функції в точці), називаються точками розриву цієї функції. Точки розриву можуть утворювати цілі лінії розриву. Так, функція має лінію розриву.
Можна дати інше, рівносильне приведеному вище, визначення неперервності функції в точці. Позначимо , , .
Величини і називаються приростами аргументів і , а– повним приростом функції в точці . Функція називаєтьсянеперервною в точці якщо виконується рівність , тобто повний приріст функції в цій точці прямує до нуля, коли прирости її аргументів іпрямують до нуля.
Користуючись визначенням неперервності і теоремами про границі, можна довести, що арифметичні операції над неперервними функціями і побудова складної функції з неперервних функцій приводить до неперервних функцій – подібні теореми мали місце для функцій однієї змінної (див. п. 19.4).
10.1.4. Властивості функцій, неперервних в обмеженій замкненій області
Приведемо властивості функцій, неперервних в обмеженій замкнутій області (вони аналогічні властивостям неперервних на відрізку функцій однієї змінної – див. п. 19.5). Заздалегідь уточнимо поняття області.
Областю називається множина точок площини, що володіють властивостями відкритості і зв'язності.
Властивість відкритості: кожна точка належить їй разом з деяким околом цієї точки.
Властивість зв'язності: будь-які дві точки області можна з'єднати неперервною лінією, що цілком лежить в цій області.
Точка називається межовою точкою області , якщо в будь-якому околі її лежать як точки цієї області так і точки що їй не належать.
Сукупність межових точок області називаєтьсямежею .
Область з приєднаною до неї межею називаєтьсязамкнутою областю.
Область називається обмеженою, якщо всі її точки належать деякому кругу радіуса . Інакше область називаєтьсянеобмеженою. Прикладом необмеженої області може служити множина точок першого координатного кута, а прикладом обмеженої – окіл точки .
Теорема 10.1. Якщо функція неперервна в обмеженій замкнутій області, то вона в цій області:
а) обмежена, тобто існує таке число , що для всіх точокв цій області виконується нерівність;
б) має точки, в яких приймає найменше і найбільшезначення;
в) приймає хоча б в одній точці області будь-яке чисельне значення, розміщене між і.
Теорема дається без доведення.