- •Высшая математика
- •1.2 Операции над матрицами
- •2) Произведением матрицы а на действительное число
- •Лекция 2 определители
- •2.1 Свойства определителей
- •2.3 Обратная матрица
- •2.4. Ранг матрицы. Базисный минор
- •3.Системы линейных алгебраических уравнений
- •3.1 Основные понятия
- •3.2 Методы решение систем
- •3.3 Метод Гаусса последовательного исключения неизвестных
- •Лекция 4 множество геометрических векторов
- •4.2 Линейные операции над векторами
- •4.3Линейное (векторное) пространство
- •4.3.1 Определение линейного пространства
- •4.3.2 Линейно зависимые и независимые векторы. Размерность и базис пространства
- •4.3.3 Теорема о разложении вектора по базису
- •4.4 Евклидово пространство
- •4.5Векторное произведение векторов
- •4.5.2 Векторное произведение в координатной форме.
- •4.6 Смешанное произведение векторов
- •Лекция5
- •5.1 Прямая на плоскости
- •Лекция6
- •6.1 Плоскость в пространстве
- •6.2 Прямая в пространстве
- •6.3 Угол между двумя прямыми в пространстве
- •6.4 Расстояние между прямыми в пространстве
- •6.5 Угол между прямой и плоскостью
- •Лекция 7 кривые второго порядка
3.Системы линейных алгебраических уравнений
3.1 Основные понятия
Система вида:
называется неоднородной системой т линейных уравнений с п неизвестными.
Здесь х1 ,..., хп - неизвестные величины,
Аij - коэффициенты системы,
bj, - свободные члены
Совокупность п чисел которые обращают каждое уравнение системы в тождество, называется решением системы.
Если существует хотя бы одно решение, то система называется совместной, в противном случае - несовместной.
Совместная система называется определенной, если решение единственно, в противном случае - неопределенной.
Если все свободные члены bi = 0 , то система называется однородной.
Однородная система всегда совместна, так как она имеет решение хj = 0 , это решение называют тривиальным.
Запишем систему в матричной форме:
АХ=В,
где матрица , составленная из коэффициентов системы, называется основной матрицей системы:
- матрица неизвестных, - матрица свободных членов
Если к матрице системы А присоединить столбец свободных членов, то получим так называемую расширенную матрицу системы, обозначим её
.
3.2 Методы решение систем
Ответ на вопрос о совместности неоднородной системы дает теорема Кронекера-Капелли:
Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть:
rang A = rang.
Рассмотрим систему, у которой число уравнений равно числу неизвестных, т=п.
АХ=В,
где А=(аij) - квадратная матрица порядка n. При решении такой системы возможны два случая:
Матрица А - не вырождена, ее определитель.
В этом случае существует обратная матрица А-1. Уравнение АХ=В умножим слева на А-1, получим:
А-1AX= А-1B,
так как А-1А = Е, то решение системы найдено
X= А-1•B.
Итак, система имеет единственное решение, которое находится с помощью обратной матрицы по формуле:
Отсюда легко получаются известные формулы Крамера:
или
,
где - определитель матрицы А, у которой i-ый столбец заменен столбцом свободных членов.
Пример 13. Решить систему с помощью обратной матрицы:
.
Решение
Установим, будет ли основная матрица системы невырожденной, для этого найдем ее определитель:
, следовательно А -не вырождена.
Решение Х ищем по формуле Х = А-1В.
Найдем обратную матрицу .
Вычислим все алгебраические дополнения:
; А21=1; А31=8;
; А22=2; А32=-5;
А23=5; А33=-2.
тогда:
Найдем неизвестные системы:
итак, .
Пример 14. Решить систему, используя формулы Крамера:
.
Решение
Найдем определитель основной матрицы системы:
, следовательно, система имеет единственное решение. Найдем его по формулам Крамера: где
итак, ;
Матрица А - вырождена, то есть А = detA = 0.
Тогда ее ранг r(А) = r < п.
Условие совместности тоже выполнено, так как ранг расширенной матрицы равен r:
Как найти и записать решения системы в этом случае?
Пусть базисный минор матрицы А, порядок которого равен r,находится в левом верхнем углу. В этом случае п-r уравнений, коэффициенты которых не входят в базисный минор, будут линейными комбинациями первых уравнений и могут быть отброшены.
Тогда система имеет следующий вид:
Перепишем систему, оставив слева только r слагаемых в каждом уравнении:
x1 , x2, …, xr называют базисными переменными,
xr+1 , …, xn называют свободными переменными.
Если выразить базисные переменные в общем виде через свободные, то получим общее решение системы. Если в этом общем решении придавать свободным переменным конкретные числовые значения, то получим частное решение системы.
Таким образом, в этом случае, когда r(А) = r() < п, система имеет бесчисленное множество решений (пример 16).