2.3 Обратная матрица

Пусть А - квадратная матрица порядка п;

Е - единичная матрица того же порядка

Матрица В называется обратной для матрицы А, если

АВ = ВА = Е.

Обозначают обратную матрицу А^-1.

Матрица А называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля: det A  0

Теорема существования обратной матрицы

Для каждой невырожденной матрицы А существует обратная А^-1.

Теорема единственности обратной матрицы

Если у некоторой матрицы существует обратная, то она только одна.

Доказательство.

Пусть и - обратные матрицы для А, тогда

Умножим слева на последнее выражение, получим

,

Так как А=Е, то -=0 или =

Алгоритм построения обратной матрицы:

1. Найдем Δ - определитель матрицы А. Если Δ0, то А^-1 существует, в противном случае обратная матрица не существует

2. Найдем все алгебраические дополнения элементов матрицы А, то есть: А_ij=

3. Запишем обратную матрицу:

(Обратите внимание, что матрица из алгебраических дополнений транспонирована).

Упражнения. Покажите, что:

1. А·А^-1=Е и А^-1·А=Е

2. (А^-1)^-1=А

3. (А·В)^-1=В^-1·А^-1

Пример 10. Найти матрицу, обратную для матрицы .

Решение. Найдем определитель матрицы А:

определитель не равен нулю, следовательно, обратная матрица существует Найдем все алгебраические дополнения:

; ; ;

; ; ;

Итак, обратная матрица имеет вид:

2.4. Ранг матрицы. Базисный минор

Пусть - матрица любого порядка.

Если выписать произвольно k-строк (k < т) и k-столбцов {k < п) этой матрицы, то получим минор k-го порядка. В этом случае говорят, что минор порождается матрицей А.

Пример 11.

Выписать миноры, порожденные матрицей

Решение

Это будут следующие миноры второго порядка:

Рангом матрицы А называют число, равное наивысшему порядку ее минора, не равного нулю

Обозначают ранг матрицы: rang А; r(А); r.

Для квадратной матрицы разность между ее порядком и рангом называют дефектом матрицы.

Минор порядка r (r = rang А) называется базисным минором.

Справедливы следующие утверждения (доказать самостоятельно):

1.

2. r=0, тогда и только тогда, когда все а_ij= 0

3. r=п для квадратной матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

4. r < п для квадратной матрицы А, если ее определитель Δ = О

Теорема о базисном миноре:

Если ранг матрицы равен r, то любая строка матрицы есть линейная комбинация строк, в которых расположен базисный минор.

Ранг матрицы удобнее всего определять при помощи элементарных преобразований над ее строками и столбцами.

Элементарными преобразованиями называют:

- перестановку между собой строк;

- умножение всех элементов любой строки на число, отличное от нуля;

- прибавление к элементам любой строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на число.

Матрицы, полученные одна из другой при помощи элементарных преобразований (как над строками, так и над столбцами), называются эквивалентными. Эти матрицы имеют одинаковый ранг и порядок.

Если матрицы А и В эквивалентны, то записывают это так:

А~В

Для вычисления ранга матрицы можно пользоваться следующей теоремой:

если определитель порядка r матрицы А не равен нулю, а все определители порядка (r+1), включающие его в качестве минора, равны нулю, то ранг матрицы А равен r.

Пример 12. Найти ранг матриц:

a) ; б) .

Решение.

а) А - квадратная матрица, найдем ее определитель:

Так как минор третьего порядка не равен нулю, то rang А = r = 3 .

б) Выполним элементарные преобразования над строками матрицы В:

все элементы первой строки умножим на (-1) и прибавим к соответствующим элементам второй строки. Затем сложим последние две строки, Получим:

Очевидно, что все миноры третьего порядка будут равны нулю. Найдем минор второго порядка, отличный от нуля.

например,

Таким образом, rang В = 2.