5. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора, Маклорена

Пусть дана функция , которую требуется разложить в степенной ряд, т. е. представить в виде

Задача состоит в определении коэффициентов ряда. Для этого продифференцируем равенство, получим:

Полагая в этих равенствах , найдем

Тогда

Подставляя значения найденных коэффициентов в равенства, получим

или

Это разложение функции в ряд называется рядом Маклорена, это разложение функции называют разложением по степеням .

Рядом Тейлора называю ряд вида:

или

называют разложением по степеням .

Пример 45 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Найдем производные , поэтому приимеемПодставляя эти значения в формулу получим искомое разложение

Этот ряд сходится на всей числовой прямой .

Пример 46 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Так как производная четвертого порядка совпадает с функцией, то производные следующих порядков повторяются в той же последовательности. Найдем значения функции и ее производных при :

Поэтому ряд Маклорена для функции имеет вид

Пример 47 Разложить в ряд Маклорена функцию .

Решение:

Аналогично, получим

5. Применение рядов в приближенных вычислениях

Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения:

функций, определенных интегралов.

Находятся приближенные решения дифференциальных уравнений.

Пример 48 Вычислить приближенно , с точностью 0,01.

Решение:

Используем ряд Маклорена для функции

,

подставим , получим

,

или

получили знакочередующийся ряд, из теоремы Лейбница следует, что погрешность , не превышает первого из отброшенных членов (по абсолютной величине). Так как пятый член ряда меньше заданной точности

,

то сумма ряда равна

.

Пример 49 Вычислить интеграл , с точностью 0,1.

Решение:

Используем ряд Маклорена для функции

,

подставим , получим

вычислим интеграл

Так как четвёртый член ряда меньше заданной точности , то данный интеграл равен