- •Лекция 10
- •10.1 Неопределённый интеграл, его свойства
- •Интегралы от основных элементарных функций (Таблица интегралов)
- •10.2 Методы интегрирования
- •Определённый интеграл, его свойства
- •2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница
- •Интегрирование по частям
- •2.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
- •2.1.6 Несобственные интегралы
- •Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы:
- •Пример 14
- •Лекция 14 дифференциальные уравнения
- •2.2.1 Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
- •2.2.2 Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Лекция15
- •Лекция16 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •16.1 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. . Метод Лагранжа
- •Лекция17 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- •Лекция18
- •Свойства сходящихся числовых рядов
- •2.3.2 Достаточные признаки сходимости рядов
- •Лекция19 Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- •Пример 37 Исследовать ряд на сходимость.
- •2.3.4 Функциональные ряды. Степенные ряды
- •Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора, Маклорена
- •Применение рядов в приближенных вычислениях
Определённый интеграл, его свойства
Пусть на отрезке задана функция y=f(x). Разобьем отрезок на n элементарных отрезков точками . На каждом отрезкеразбиения выберем некоторую точкуи положим, где. Сумму вида
будем называть интегральной суммой для функции y=f(x) на . Очевидно, что интегральная сумма зависит как от способа разбиения отрезка точками , так и от выбора точекна каждом из отрезков разбиения,.
Если существует предел , не зависящий от способа разбиения отрезкаи выбора точек, то этот предел будем называтьопределённым интегралом функции f(x) на отрезке и обозначать символом т.е.
Функция f(x) в этом случае называется интегрируемой на отрезке . При этомf(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx – подынтегральным выражением, а числа a и b – пределами интегрирования (a – нижний предел, b – верхний предел), а сумма –интегральной суммой.
Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.
Свойства определённого интеграла
1.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла:
3. Определённый интеграл от суммы двух функций равен сумме определённых интегралов от этих функций:
4. При перестановке пределов интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:
5. Интеграл по отрезку равен сумме интегралов по его частям:
где a<c<b.
6. Теорема об оценке интеграла
Если для , тогда значения интеграла от этой функции не менее произведения m на длину отрезка и не более произведения M на длину отрезка.
7. Теорема о среднем значении
Если f(x) непрерывна на отрезке , то существует такое значение, что f(x0)=fср – среднее значение f на отрезке.
2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница
Если функция f(x) непрерывна на отрезке и F(x) – первообразная функции f(x) на этом отрезке, то
Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
При вычислении интегралов ее часто записывают в виде
Например, =
Замена переменной в определённом интеграле
Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке , функцияимеет на отрезкенепрерывную производную, при этомиТогда
Пример 9. Найдём
Решение:
Воспользуемся подстановкой x=sint; тогда . Найдём новые пределы интегрирования: еслих=0, то t=0, если х=1, то . Получим
.
Интегрирование по частям
Пусть u=u(x), v=v(x) – непрерывно дифференцируемые на функции. Тогда справедлива формула
или
Пример 10. Найти
Решение: Положим u=x, откуда
Согласно формуле находим
2.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Если при этомf(x)на этом отрезке, то площадьS криволинейной трапеции, ограниченной линиями y=f(x), y=0, x=a, x=b, выразится с помощью интеграла:
Замечания:
1. Если же на, то –f(х)на этом отрезке. Поэтому площадьS соответствующей криволинейной трапеции находится по формуле
или
Наконец, если линия y=f(x) пересекает ось Ох, то отрезок надо разбить на части, в пределах которыхf(x) не меняет знака, и к каждой части применить ту из формул, которая ей соответствует.
2. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной сверху графиком функции y2=f2(x), снизу – графиком функции y1=f1(x), слева и справа прямыми x=a, x=b, вычисляется по формуле:
3. Площадь криволинейной фигуры, ограниченной справа графиком функции x2=2(y), слева – графиком функции x1=1(y), снизу и сверху прямыми y=c, y=d, вычисляется по формуле:
Пример 11. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной графиком функции y = sinx и осью абсцисс при условии .
Решение:
Разобьём отрезок на два отрезка:и. На первом из них sinx, на второмsinx. Тогда, используя формулы, находим искомую площадь: