
- •Лекция 10
- •10.1 Неопределённый интеграл, его свойства
- •Интегралы от основных элементарных функций (Таблица интегралов)
- •10.2 Методы интегрирования
- •Определённый интеграл, его свойства
- •2.1.4 Теорема Ньютона-Лейбница
- •Интегрирование по частям
- •2.1.5 Геометрические приложения определённого интеграла Вычисления площадей плоских фигур
- •2.1.6 Несобственные интегралы
- •Пример 13 Исследовать на сходимость интегралы:
- •Пример 14
- •Лекция 14 дифференциальные уравнения
- •2.2.1 Основные понятия. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши.
- •2.2.2 Простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка.
- •Лекция15
- •Лекция16 Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
- •16.1 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. . Метод Лагранжа
- •Лекция17 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и специальной правой частью
- •Лекция18
- •Свойства сходящихся числовых рядов
- •2.3.2 Достаточные признаки сходимости рядов
- •Лекция19 Знакопеременные ряды. Признак Лейбница
- •Пример 37 Исследовать ряд на сходимость.
- •2.3.4 Функциональные ряды. Степенные ряды
- •Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора, Маклорена
- •Применение рядов в приближенных вычислениях
Лекция 10
10.1 Неопределённый интеграл, его свойства
Первообразная функция и неопределённый интеграл
Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x) на данном промежутке, если на этом промежутке
.
Например, функция F(x)=x3 является первообразной функции f(x)=3x2 на всей числовой оси, так как (x3)/=3x2 при любом x. Отметим, что вместе с функцией F(x)=x3 первообразной для f(x)=3x2 является любая функция вида Ф(х)=х3+С, где С – произвольное постоянное число.
Лемма о первообразных
Если F1(x) и F2(x) – две первообразные для функции f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.
Из этой теоремы следует, что если известна какая-нибудь первообразная F(x) данной функции f(x), то всё множество первообразных для f(x) можно записать в виде F(x)+C.
Выражение F(x)+C,
где F(x)
– первообразная функции f(x)
и С
– произвольная постоянная, называется
неопределённым
интегралом
от функции f(x)
и обозначается символом
,
причёмf(x)
называется подынтегральной
функцией,
f(x)dx
– подынтегральным
выражением,
х
– переменной
интегрирования;
–знак
неопределённого интеграла.
Таким образом, по определению
если
.
Возникает вопрос: для всякой ли функции f(x) существует первообразная, а значит, и неопределённый интеграл?
Свойства неопределённого интеграла
Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого
или
где С – произвольное число
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла
где k – некоторое число.
Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций
Интегралы от основных элементарных функций (Таблица интегралов)
.
, в общем случае
, в частности
9)
10)
11)
12)
10.2 Методы интегрирования
Метод
непосредственного интегрирования
связан с приведением подынтегрального
выражения к табличной форме путём
преобразований и применения свойств
неопределённого интеграла.
Пример 1.
Найти интеграл
Решение:
.
Пример 2. Найти
интеграл
Решение:
Замена
переменной интегрирования
Если
,
где
-
функция, имеющая непрерывную производную,
тогда
;
подставляя в интеграл, получим
Пример 3. Найти
интеграл
Решение:
Воспользуемся
подстановкой x=t2.
Тогда
,
получим
Интегрирование
по частям
Пусть u=u(x) и v=v(x) – непрерывно дифференцируемые функции. Тогда справедлива формула
.
Пример 4.
Найти интеграл
Решение:
Пусть u=x
du=dx,
;
Используя формулу интегрирования по
частям, получим
Лекция 11
Интегрирование простейших рациональных дробей
Многочленом степени
n
называется выражение вида
,
где
– действительные числа
.
Например, 5–7x
– многочлен первой степени
,
=2x3
– 3x2
+8x
– 1 – многочлен третьей степени.
Рациональной
дробью называется отношение двух
многочленов. Например,
– рациональные дроби. Всякая рациональная
дробь имеет вид:
где
– многочлены степени m
и n
соответственно.
,
если
Простейшими рациональными дробями являются следующие четыре типа дробей:
I);II)
III)
;IV)
Очевидно, что интегралы от простейших дробей первого и второго типов находятся легко:
,
где k
– целое,
.
От дробей третьего
и четвёртого типов вычисляют заменой
,или по
следующим формулам:
Разложение
многочленов на множители
Для любых многочленов
имеет место теорема
Безу:
,
где z0
простой корень
,
где z0
корень кратности k.
Если z
корень комплексный:
,
гдеi=
и
,
то
,
где
– сопряженный корень.
Любой многочлен можно разложить на линейные и квадратичные множители
–действительные
корни;
комплексные корни
Правильную
рациональную дробь можно разложить на
сумму простейших дробей,
если знаменатель дроби
представлен в виде сомножителей
:
Пример 5. Разложить на сумму простейших дробей следующие дроби:
а)
;
б)
.
Решение:
а)
б)
Пример 6. Вычислить интеграл:
Решение:
Разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби
приравнивая числители дробей, получаем:
Определим коэффициенты А и В, придавая любые значения переменной x:
Получаем А=1 и В=1. Исходный интеграл найдём как сумму интегралов от полученных дробей.
Лекция 12
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим интегралы
вида
.
Такие интегралы могут быть сведены к
интегралам от рациональных функций
заменой переменной
,
где
Такая замена называется универсальной тригонометрическая подстановкой.
В этом случае,
Тогда
.
Пример 7.
Найти
Решение:
Положим
.
Тогда, используя выражения черезt
для dx
и sinx,
указанные выше, получаем, что искомый
интеграл равен
При вычислении
интегралов вида
рассмотрим частные случаи:
n – нечётное
n,
m
– чётные,
.
применяют формулы тригонометрии:
При вычислении
интегралов вида
делают замену
,
тогда
Если
интеграл имеет
вид
,
где n, m – чётные, применяют формулу:
Пример 8. Вычислить интегралы:
а)
б)
Решение:
а)
б)
При вычислении
используют формулы
Интегрирование
иррациональных выражений
При вычислении интегралов, содержащих иррациональные выражения применяют замену переменной.
Если
,
то
, где
Если
то
, где
Лекция13