20-11-2015_10-15-49 / Mathcad - transient_3_Б
.pdf
Задача 1
Расчет переходного процесса классическим методом при использовании вычислений в системе MathCAD
Пусть в линейной электрической цепи, приведенной на рис.1, в момент t=0 произошло замыкание ключа. Требуется найти зависимости от времени тока i в течение переходного процесса, если заданы параметры всех элементов цепи.
|
|
|
Исходные данные для варианта 3 |
|||
R1 |
5 |
R2 4 |
R3 6 |
L 5 10 3 |
E 100 В |
|
R4 |
10 |
Ом |
C 200 10 6 |
Ф |
|
|
Расчет тока в индуктивности и напряжения наемкости до коммутации. До коммутации цепь находилась в режиме постоянного тока. Для постоянного тока идеальная катушкаиндуктивности представляет собой закоротку, а конденсаторразрыв ветви.
E
i_0 |
|
|
|
|
|
|
|
R3 R4 |
|
(R2) R1 |
|
i_0 5.488 |
|
||
|
|
|
|||||
|
R2 R1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
iL_0 i_0 |
R2 |
|
|
|
iL_0 2.439 |
(1) |
|
|
|
|
|
||||
R1 R2
uc_0 i_0 R3 |
uc_0 32.927 |
Составление характеристического уравненияи расчет его корней Составим уравнения Кирхгофа в мгновенной форме для произвольного момента времени после коммутации. Особенность составления уравнений такова, что независимые контуры нужно выбирать так, чтобы ветвь с индуктивностью вошла в минимальное число контуров.
i2 i3 ic iL = 0
i3 i ic = 0
uc R2 i2 = E |
|
|||
uc |
R3 i3 = 0 |
|
||
L d iL |
R1 iL R2 i2 = 0 |
(2) |
||
dt |
|
|
|
|
|
1 |
t |
|
|
uc |
|
|
ic(t) dt = 0 |
|
|
|
|
||
C0
Вуравнениях Кирхгофа (2) заменим производную любой переменной на параметр р, интеграл - на 1/p, любую переменную -на единицуи запишем полученную системууравнений в матричной форме. Характеристическое уравнение получается путем приравнивания нулю определителя главной матрицы. Найдем корни этого уравнения.
Given
Y (i i2 i3 iL ic uc)
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
R2 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 0 |
R3 |
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|||
|
0 R2 0 |
L p R1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p C |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P Find(p) float 5 |
( 1541.7 |
|
840.59 i |
1541.7 |
840.59 i) |
||||||||
P 1.542 103 840.59i 1.542 103 840.59i
P0 0 |
1.542 103 840.59i |
P0 |
1 1.542 103 840.59i |
Вычисление зависимых начальных условий.
Зависимые начальные условияэто в начальный момент после коммутации токи во всех элементах, не являющихся индуктивностями, напряженияна всех элементах, неявляющихся емкостями и производные всех токов.
Токи в индуктивностях и напряжениа на емкостях называются переменными состояния, а все остальные переменныезависимыми переменными.
Для определения зависимых начальных условий составим систему уравнений Кирхгофа в мгновенной форме после коммутации, положим t=0 , применим законы коммутации и перенесем в правую часть уравнений известные токи в индуктивностях и напряжения на емкостях.
В уравнениях Кирхгофа (2) обозначим напряжение наемкости uc(t), а производные будем обозначать символом<'>(штрих). Продифференцируем те уравнения, в которых нет производных и присоединим полученные уравнения к системе уравнений Кирхгофа. Получим системууравнений:
i2 i3 ic = iL_0
i3 i ic = 0
R2 i2 = E uc_0
R3 i3 = uc_0
LiL' R2 i2 = (R1 iL_0)
C uc' ic = 0
i2' i3' ic' iL' = 0
i3' i' ic' = 0
uc' R2 i2' = 0
uc' R3 i3' = 0
X (iL' uc' i i2 i3 ic i' i2' i3' ic')
|
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 1 0 |
1 1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
||||
|
0 |
0 |
0 |
R2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
(4) |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
R3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
0 |
R2 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
M |
L |
0 |
|
|||||||||
0 C |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
0 0 0 0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 1 |
|
|||||
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
R2 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 0 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
R3 0 |
|
||||
|
|
iL_0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
uc_0 E |
|
||
|
|
uc_0 |
|
|
|
|
|
|
|
V |
R1 iL_0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
X M 1 V |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
i_0 X2 |
|
i_0 19.207 |
|
|
i_0' X6 |
|
i_0' 6.174 103 |
|
|
Определение принужденных токов.
Принужденные токиэто установившиеся токи после завершения переходного процесса. Посколькув цепи имеется только источник постоянной ЭДС, то установившиеся токипостоянные и их нужно рассчитывать по правилам расчета постоянных токов. Конденсатор, включенный последовательно с источником ЭДС приводит к тому, что все принужденные токи равны нулю.
i_pr |
|
E |
|
||
R3 |
(R2) R1 |
|
i_pr 12.162 |
||
|
|||||
R2 R1 |
|||||
|
|
|
|||
Запишем общие решения для токов:
i(t) = A0 eP0 0 t A1 eP0 1 t |
i_pr |
(8) |
|||
|
|||||
Продифференцируем токи |
|
|
|
||
d i(t) = A0 P |
eP0 0 t A1 P |
|
eP0 1 t |
(9) |
|
|
|
||||
dt |
0 0 |
0 1 |
|
|
|
Расчет постоянныхинтегрирования.
Для расчета постоянных интегрирования необходимо записать решения (8) и выражения производных переменных (9) для момента времени t=0 и приравнять полученные токи и ихпроизводные их начальным условиям (7).
A0 A1 = i_0 i_pr |
|
A0 P0 0 A1 P0 1 = i_0' |
(10) |
Системулинейных уравнений (10) запишем и решим в матричной форме
1 |
|
|
1 |
Va |
i_0 i_pr |
|
Ma |
|
|
|
|
|
|
P0 0 |
P0 1 |
|
i_0' |
|
||
1 |
|
|
3.523 |
2.788i |
|
|
A Ma |
Va |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
3.523 |
2.788i |
|
Запись решения
i(t) A0 exp P0 0 t A1 exp P0 1 t i_pr
t 0 0.000005 0.003
20
i(t) 15
10
0 |
5 10 |
|
4 |
0.001 |
0.0015 |
0.002 |
0.0025 |
0.003 |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|