Статистика. Конспект лекций
.pdf
51
Лінійне рівняння має таку формулу:
Y = a + bх, |
(7.1) |
де Y - значення результативної ознаки;
а - вільний член рівняння, реального економічного змісту не
має;
b - коефіцієнт регресії, який показує на скільки одиниць в середньому зміниться результативна ознака при зміні факторної ознаки на одиницю;
х - значення факторної ознаки.
Параметри а і b такого рівняння визначаються методом найменших квадратів шляхом розв'язання системи нормальних рівнянь:
ìå y = na + båx,
ï
íåxy = aåx + båx2 .
ï
î
Розв'язавши систему, отримуємо:
a = |
åx2 åy - åxåxy |
, |
nåx2 - åxåx |
nåxy - åxå y b = nåx2 - åxåx .
(7.2)
(7.3)
(7.4)
Якщо b має позитивний знак, то зв'язок прямий, якщо від'ємний - зв'язок обернений.
Для економічної інтерпретації лінійних і нелінійних зв'язків між двома явищами використовується коефіцієнт еластичності, який показує, на скільки процентів у середньому змінюється результативна ознака зі зміною факторної ознаки на 1%. Коефіцієнт еластичності розраховується за формулою:
E = b |
|
x |
. |
(7.5) |
|
|
|||
|
|
y |
|
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
52
7.3 Визначення щільності зв'язку
Для вимірювання щільності зв'язку і визначення його напрямку при лінійній залежності використовують лінійний коефіцієнт кореляції, який визначається за формулою:
r = |
|
xy |
− |
x |
× |
y |
|
або r = b |
σ x |
. |
(7.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
σ x ×σ y |
σ y |
|
|||||||
Значення r коливається в межах від -1 до +1. Якщо лінійний коефіцієнт кореляції із знаком «+» - зв'язок між ознаками прямий, а якщо із знаком «-» - зв'язок зворотній.
Мірою щільності кореляційного зв'язку є коефіцієнт детермінації, який розраховується як відношення факторної дисперсії до загальної за формулою:
|
|
R2 = |
σ 2 |
(7.7) |
||
|
|
Y , |
||||
|
|
|
|
|
σ y2 |
|
Корінь квадратний з коефіцієнта детермінації називають індек- |
||||||
сом кореляції, тобто: |
|
|
|
|
||
R = |
|
|
|
|
|
|
|
R2 . |
|
(7.8) |
|||
Мірою щільності зв'язку є також кореляційне відношення: |
||||||
η 2 = |
δ 2 |
, |
|
|
(7.9) |
|
σ 2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
де δ 2 - міжгрупова дисперсія; σ 2 - загальна дисперсія.
Перевірка істотності кореляційного зв'язку ґрунтується на порівнянні фактичних значень R2 і η2 з критичними, які могли б виникнути
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
53
за відсутності зв'язку. Якщо фактичне значення R2 чи η2 перевищує критичне, то зв'язок між ознаками не випадковий.
Критичні значення R2 і η2 для рівня істотності а = 0,05 і відповідного числа ступенів свободи k1 і k2 наведено в таблиці.
Таблиця 7.1 - Критичні значення коефіцієнта детермінації R2 і кореляційного відношення η2 для рівня істотності а = 0,05
k1 / k2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
5 |
0,569 |
699 |
764 |
806 |
835 |
6 |
500 |
632 |
704 |
751 |
785 |
7 |
444 |
575 |
651 |
702 |
739 |
8 |
399 |
527 |
604 |
657 |
697 |
9 |
362 |
488 |
563 |
618 |
659 |
10 |
332 |
451 |
527 |
582 |
624 |
12 |
283 |
394 |
466 |
521 |
564 |
14 |
247 |
348 |
417 |
471 |
514 |
16 |
219 |
312 |
378 |
429 |
477 |
18 |
197 |
283 |
345 |
39 4 |
435 |
20 |
179 |
259 |
318 |
364 |
404 |
24 |
151 |
221 |
273 |
316 |
353 |
28 |
130 |
193 |
240 |
279 |
314 |
32 |
115 |
171 |
214 |
250 |
282 |
36 |
102 |
153 |
192 |
226 |
256 |
40 |
093 |
139 |
176 |
207 |
234 |
50 |
075 |
113 |
143 |
170 |
194 |
60 |
063 |
095 |
121 |
144 |
165 |
80 |
047 |
072 |
093 |
110 |
127 |
100 |
038 |
058 |
075 |
090 |
103 |
120 |
032 |
049 |
063 |
075 |
087 |
200 |
019 |
030 |
038 |
046 |
053 |
|
|
|
|
|
|
|
k1 = m – |
1, k2 = n – |
m, |
|
(7.10) |
де п - обсяг сукупності; т - число груп або параметрів функції.
Істотність зв'язку R2 або η2 перевіряють також за допомогою
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
54
таблиці критерію F для 5%-ного рівня значимості.
Таблиця 7.2 - Таблиця критерію F для 5%-го рівня значимості (ймовірність «нульової гіпотези» 0,05)
k2 - ступені |
k1 - ступені свободи для міжгрупової дисперсії |
|||||||||
свободи для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
внутрішньо- |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
групової |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дисперсії |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
18,51 |
19 |
19,16 |
19,25 |
19,3 |
19,33 |
19,26 |
13,97 |
19,38 |
|
4 |
7,71 |
6,94 |
6,59 |
6,39 |
6,26 |
6,16 |
6,09 |
6,04 |
6 |
|
6 |
5,99 |
5,14 |
4,76 |
4,53 |
4,31 |
4,28 |
4,21 |
4,15 |
4,1 |
|
8 |
5,32 |
4,46 |
4,07 |
3,84 |
3,69 |
3,58 |
3,5 |
3,44 |
3,39 |
|
9 |
5,12 |
4,26 |
3,86 |
3,63 |
3,48 |
3,37 |
3,29 |
3,23 |
3,18 |
|
10 |
4,96 |
4,1 |
3,71 |
3,48 |
3,33 |
3,32 |
3,14 |
3,0/ |
3,02 |
|
12 |
4,75 |
3,88 |
3,49 |
3,26 |
3,11 |
а |
2,92 |
2,85 |
2,8 |
|
14 |
4,6 |
3,74 |
3,34 |
3,11 |
2,96 |
2,85 |
2,77 |
2,7 |
2,65 |
|
16 |
4,49 |
3,63 |
3,24 |
3,01 |
2,85 |
2,74 |
2,66 |
2,59 |
2,54 |
|
18 |
4,41 |
3,55 |
3,16 |
2,93 |
2,77 |
2,66 |
2,58 |
2,51 |
2,46 |
|
20 |
4,35 |
3,49 |
3,1 |
2,87 |
2,71 |
2,6 |
2,52 |
2,45 |
2,4 |
|
24 |
4,26 |
3,4 |
3,01 |
2,78 |
2,62 |
2,51 |
2,42 |
2,ЗЬ |
2,3 |
|
25 |
4,24 |
3,38 |
2,99 |
2,76 |
2,6 |
2,49 |
2,41 |
2,34 |
2,28 |
|
27 |
4,21 |
3,35 |
2,96 |
2,73 |
2,57 |
2,46 |
2,37 |
2,3 |
2,25 |
|
30 |
4,17 |
3,32 |
2,92 |
2,69 |
2,53 |
2,42 |
2,34 |
2,27 |
2,21 |
|
40 |
4,08 |
3,23 |
2,84 |
2,61 |
2,45 |
2,34 |
2,25 |
2,18 |
2,12 |
|
50 |
4,03 |
3,18 |
2,79 |
2,56 |
2,4 |
2,29 |
2,2 |
2,13 |
2,07 |
|
60 |
4 |
3,15 |
2,76 |
2,52 |
2,37 |
2,25 |
2,1/ |
2,1 |
2,04 |
|
80 |
3,96 |
3,11 |
2,72 |
2,48 |
2,33 |
2,21 |
2,12 |
2,05 |
1,99 |
|
100 |
3,94 |
3,09 |
2,7 |
2,46 |
2,3 |
2,19 |
2,1 |
2,03 |
1,97 |
|
200 |
3,89 |
3,04 |
2,65 |
2,41 |
2,26 |
2,14 |
2,05 |
1,98 |
1,92 |
|
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
55
7.4. Рангова кореляція
Для виявлення та вимірювання зв'язків використовують методи рангової кореляції. Рангами називають числа натурального ряду, які згідно зі значеннями ознаки надаються елементам сукупності і певним чином упорядкують її. Ранжування проводиться за кожною ознакою окремо: перший ранг надається найменшому значенню ознаки, останній - найбільшому або навпаки. Найбільш поширений коефіцієнт ра-
нгової кореляції Спірмена за формулою:
6åd 2 |
|
P =1 − n(n2 −1), |
(7.11) |
де d - відхилення рангів факторної ознаки Rx і результативної
Ry (di = Rxi - Ryi);
п - кількість рангів.
Коефіцієнт рангової кореляції змінюється в межах від -1 до +1, тобто одночасно оцінює щільність зв'язку та його напрям.
ТЕМА 8 АНАЛІЗ ІНТЕНСИВНОСТІ ДИНАМІКИ
8.1 Ряди динаміки, їх суть і види Динаміка - це поступальний розвиток, зміна явищ у часі.
Вивчення динаміки соціально-економічних явищ - одне із важливих завдань статистики. Ряд динаміки - ряд статистичних показників, які розміщені у хронологічній послідовності.
Складовими елементами ряду динаміки є: ряд хронологічних дат (моментів) або інтервалів часу; ряд числових значень статистичного показника, які називаються рівнями ряду.
Залежно від виду статистичних показників - рівнів, ряди динаміки поділяють на:
- ряди абсолютних величин; Таблиця 8.1 - Доходи населення Запорізької області
|
2001 |
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
Доходи |
|
|
|
|
|
|
|
населення, |
|
|
|
|
|
|
|
млн. грн. |
7057 |
7957 |
9381 |
11807 |
16360 |
20148 |
26424 |
- ряди відносних величин;
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
56
Таблиця 8.2 - Індекси споживчих цін
(до попереднього року; відсотків)
|
2000 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
2007 |
2008 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Індекси спо- |
|
|
|
|
|
|
|
живчих цін |
128,2 |
105,8 |
110,5 |
115,3 |
108,7 |
110,9 |
126,2 |
- ряди середніх величин.
Таблиця 8.3 –Середньомісячна номінальна заробітна плата працівників Запорізької області
|
2002 |
2003 |
2004 |
2005 |
2006 |
207 |
2008 |
Середньомісячна |
|
|
|
|
|
|
|
заробітна плата |
|
|
|
|
|
|
|
(номінальна) пра- |
|
|
|
|
|
|
|
цівників, грн. |
445 |
541 |
671 |
860 |
1091 |
1394 |
1812 |
За ознакою часу динамічні ряди поділяються на два види: інтервальні ряди; моментні ряди.
Інтервальний (періодичний) ряд - такий ряд динаміки, який характеризує явище за будь-які інтервали часу (за місяць, квартал, рік).
Моментний ряд - такий ряд динаміки, який характеризує явище за станом на будь-які моменти часу (на початок або на кінець періоду або на певну дату).
Крім цього ряди динаміки поділяють на одно – і багатомірні. Одномірні характеризують зміну одного показника (наприклад,
видобуток нафти), багатомірні — двох, трьох і більше показників. У свою чергу, багатомірні динамічні ряди поділяються на два види: паралельні та ряди взаємопов 'язаних показників.
Паралельні відображають динаміку або одного і того самого показника щодо різних об'єктів (національний доход по країнах, прибуток по підприємствах тощо), або різних показників одного і того ж об'єкта (видобуток вугілля, нафти і газу в регіоні).
Ряди взаємопов'язаних показників характеризують динаміку декількох показників, взаємопов'язаних між собою. Зв'язок між показниками багатомірного динамічного ряду може бути функціональним (адитивним чи мультиплікативним) або кореляційним.
Аналіз динаміки суспільних явищ, як правило, здійснюється на
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
57
підставі багатомірних динамічних рядів. Вони дають змогу оцінити інтенсивність і описати характер розвитку всіх складових частин, провести порівняльний аналіз динаміки двох і більше явищ, оцінити вплив інтенсивності розвитку одних явищ на інші, побудувати науково обґрунтовані прогнози.
При побудові рядів динаміки потрібно дотримуватись певних вимог. Найважливішою (головною) вимогою щодо побудови динамічних рядів є забезпечення їх порівнянності. Порівнянність рівнів динамічного ряду є запорукою обґрунтованості і правильності висновків, одержаних в результаті аналізу.
Порівнянність рівнів динамічних рядів повинна бути забезпечена з різних боків.
Насамперед, всі рівні ряду динаміки повинні характеризувати одне і теж явище. Цього можна досягти лише тоді, коли протягом всього періоду, який охоплюється динамічним рядом, будуть незмінними зміст і межі об'єкта та одиниці спостереження.
Кожен рівень динамічного ряду повинен бути визначений (роз-
рахований) за однією методологією.
Важливою умовою порівнянності рядів динаміки є вираження їх рівнів в однакових одиницях вимірювання.
Необхідно забезпечити порівнянність рівнів інтервальних рядів динаміки щодо тривалості відрізків часу, а в моментних рядах щодо відношення до однієї й тієї ж дати року.
Потрібно також забезпечити територіальну порівнянність, тобто використовувати дані по території в одних і тих же межах.
Таким чином, всі вище названі обставини слід враховувати при підготовці інформації для аналізу змін явищ у часі.
8.2 Показники аналізу рядів динаміки
Побудова рядів динаміки в статистиці відкриває широкі можливості для того, щоб шляхом їх аналізу встановити та охарактеризувати закономірності, які проявляються на різних етапах розвитку того чи іншого явища.
У процесі аналізу рядів динаміки використовують такі показники: абсолютний приріст; темп зростання; темп приросту; абсолютне значення одного процента приросту.
Абсолютний приріст показує, на скільки одиниць збільшився або зменшився наступний рівень ряду у порівнянні з попереднім або
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
58
базисним. Обчислюється як різниця рівнів ряду ланцюговим і базисним методом.
ланцюговий: |
D y = yi - yi−1 , |
(8.1) |
|
базисний: D y |
= yi - y0 , |
(8.2) |
|
де |
- абсолютний приріст; |
|
|
yі |
- наступний рівень ряду; |
|
|
yі-1 - попередиш рівень; |
|
||
у0 |
- базисний рівень. |
|
|
Сума ланцюгових абсолютних приростів дорівнює кінцевому |
|||
базисному: |
|
|
|
|
å( yi - yi−1 ) = yn - y0 |
(8.3.) |
|
Темп зростання показує, у скільки разів наступний рівень більший або менший від попереднього або базисного рівня. Обчислюється співвідношенням рівнів ланцюговим та базисним методом.
Ланцюговий: |
Tзр |
= |
yi |
. |
(8.4.) |
|
|
||||||
|
|
|
yi−1 |
|
||
Базисний: Tзр |
= |
yi |
. |
(8.5) |
||
y0 |
||||||
|
|
|
|
|
||
Темпи зростання виражають або у коефіцієнтах, або у відсотках. Добуток ланцюгових темпів зростання дорівнює кінцевому ба-
зисному:
y1 |
× |
y2 |
× |
y2 |
´...´ |
yn |
|||
|
y |
|
|
||||||
y |
0 |
|
|
y |
2 |
|
y |
n−1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
n |
yn |
|
|
|
= T1 ×T2 ×T3 ´...´Tn = ∏T = |
. |
(8.6) |
||
|
||||
i−1 |
y0 |
|
||
Якщо Тзр > 1 - збільшення. Якщо Тзр < 1 - зменшення. Ланцюговий абсолютний приріст і темп зростання Т:зр взає-
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
59
мопов’язані:
yi = yi−1 + D y, |
Tзр |
= |
yi−1 + D y |
= 1+ |
D y |
. |
(8.7) |
|
yi−1 |
yi−1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Величину y/yі-l називають темпом приросту.
Темп приросту показує, на скільки процентів наступний рівень у( більший або менший від попереднього уі-1 або базисного у0. Вимірюється тільки у відсотках. Обчислюється як співвідношення абсолютного приросту до рівня порівняння, або як різниця між темпом зростання і 100%:
Ланцюговий: T = |
|
D y |
|
´100% . |
(8.8) |
|||
|
|
|||||||
|
пр |
|
|
yi−1 |
|
|
||
|
|
D y |
|
|
||||
Базисний: T = |
´100% . |
(8.9) |
||||||
|
||||||||
пр |
|
y0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
або Тпр=Тзр-100%. |
|
(8.10) |
||||||
Абсолютне значення одного процента приросту показує, яка абсолютна величина відповідає кожному проценту приросту. Обчислюється як відношення абсолютного приросту до темпу приросту лан-
цюговим методом:
A% = |
D y |
= |
|
y |
i |
- y |
i−1 |
= |
y |
i−1 |
. |
(8.11) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Тпр |
|
( |
yi - yi−1 |
) ×100 |
|
100 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
yi−1 |
|
|
|
|
|
|
||
Ряди динаміки можна подавати не тільки в таблицях, а й у вигляді графічних зображень. У цьому разі на осі абсцис відкладають шкалу часу, а на осі ординат – шкалу рівнів ряду.
8.3Середні показники динаміки
Зчасом змінюються як рівні рядів динаміки, так і обчислені на їх основі показники аналізу. Тому для узагальненої характеристики розвитку явищ використовують середні показники: середні рівні; се-
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
60
редні абсолютні прирости; середні темпи зростання.
В інтервальному ряді абсолютних величин використовується се-
редня арифметична проста:
y = |
å yi |
, |
(8.12) |
|
n |
||||
|
|
|
де n - число рівнів ряду; уірівні ряду.
Для моментних рядів динаміки середній рівень обчислюється залежно від характеру статистичної інформації.
Якщо є два рівня моментного ряду (на початок і на кінець періоду) ,то середній рівень розраховують за середньою арифметичною простою:
y = |
y0 + yn |
. |
(8.13) |
|
2 |
||||
|
|
|
Якщо рівнів моментного ряду динаміки більше ніж 2 (n > 2), то середній рівень обчислюється за формулою середньої хронологічної:
|
y1 + yn |
+ y2 + y3 + ...+ yn−1 |
|
|
y = |
2 |
(8.14) |
||
|
||||
|
n −1 |
|||
|
|
|
Для обчислення середнього рівня моментного ряду іноді використовують формулу середньої арифметичної зваженої, якщо інтервали часу нерівні:
y = |
å yiti |
, |
(8.15) |
|
åti |
||||
|
|
|
де yi - рівень ряду;
ti - інтервал часу між датами.
Середній абсолютний приріст обчислюється як середня ариф-
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com