Статистика. Конспект лекций
.pdf31
(4.5)
Відносні величини структури характеризують склад, структуру сукупності за тією чи іншою ознакою. Відносних величин структури завжди стільки, скільки складових елементів має сукупність. Відносна величина структури являє собою співвідношення окремої складової сукупності до її підсумку, тобто:
В.В. структури = |
Частина (складова) |
. |
(4.6) |
|
|||
|
Ціле (підсумок) |
|
|
Кожну відносну величину структури називають часткою або питомою вагою. Сума часток становить 1 або 100%. На порівнянні часток ґрунтується аналіз структурних зрушень у часі. Різницю між частками називають процентними пунктами.
Відносні величини координації застосовуються для характе-
ристики співвідношення між окремими частинами статистичної сукупності і показують у скільки разів порівнювана частина більша або менша частини, що прийнята за базу порівняння.
Відносні величини порівняння зі стандартом – це співвідношення фактичних показників та певних еталонів, тобто стандартів, нормативів, оптимальних рівнів. Такі величини показують, як відхиляються фактичні показники від еталонів, тобто відхилення від 1
або 100%.
Відносні величини просторових порівнянь – порівняння пока-
зників економічного розвитку або життєвого рівня. База порівняння вільна.
Відносні величини інтенсивності характеризують ступінь по-
ширення явища у певному середовищі. Особливістю цього виду відносних величин є співвідношення різнойменних показників, що можна виразити такою формулою:
В.В. інтен − ті = |
Обсяг |
певного явища |
Обсяг середовища, |
якому це явище властиве |
(4.7)
У чисельнику - величина явища (показник), ступінь поширення якого вивчають, а в знаменнику - величина того середовища, в якому
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
32
розвивається (поширюється) це явище В.в.інтенсивності завжди є іменованою.
Одиниці вимірювання відносних величин інтенсивності:
-натуральні складні, наприклад, густота населення в регіоні 95,6 осіб на 1 км2;
-промілле (°/оо), якщо демографічні явища (народжуваність, смертність, шлюбність, розлученість) розраховуються на 1000 осіб;
-продецимілле (°/ооо), наприклад, забезпеченість лікарями обчислюється на 10 000 осіб;
-просантимілле (°/оооо) Для визначення злочинності, захворюваності на 100 000 осіб.
4.3 Середня величина, її суть і логічна формула Середня величина у статистиці - узагальнюючий показник,
який характеризує типовий рівень варіюючої ознаки в розрахунку на одиницю однорідної сукупності.
При обчисленні середніх необхідно чітко усвідомити визначальну властивість сукупності та логічну формулу середньої.
Чисельник логічної формули середньої являє собою обсяг значень варіюючої ознаки, а знаменник - обсяг сукупності.
Приклади логічних формул середньої:
Середня місячна заробітна плата = Фонд заробітної плати .(4.8)
Середня ціна = |
Виручка |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
. |
|
|
|
|
|
(4.9) |
||||
Кількість товару |
|
|
|
|
||||||||
Середня прибутковість капіталу банку, % = |
Сума прибутку |
|
×100% |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Розмір капіталу |
||||||
|
|
|
|
|
Сума |
прибутку |
|
(4.10) |
||||
Середня |
прибутковість активів банку,% = |
×100% |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
Сума |
активів |
|
|
|||
|
|
|
Валовий збір |
|
|
|
(4.11) |
|||||
Середня |
урожайність культур = |
|
|
|
(4.12) |
|||||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
Площа |
|
|
|
|
|
|
|||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
33
|
Сума відсоткових грошей |
|
||
Сер. депозитна ставка,% = |
(проценти за депозитами) |
×100% |
||
|
Сума залучених депозитів |
|||
|
|
|
||
|
|
Сума вкладів |
|
(4.13) |
Середеній вклад = |
|
(4.14) |
||
|
Кількість вкладів |
|||
Сума відсоткових грошей
Середня кредитна ставка,% = (проценти за кредитами) ×100% Сума наданих кредитів
(4.15)
На підставі логічної формули середньої обирається вид середньої величини.
4.4 Види середніх величин
Середні величини в статистиці належать до класу степеневих середніх, які описує формула:
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
åX m |
|
|
||
X = |
, |
(4.16) |
|||||
|
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
де Х - рівень ознаки, варіант; n- число варіантів;
m - показник степеня середньої.
Зміна степеня середньої величини визначає її вигляд:
m =1 - середня арифметична; m =-1 - середня гармонійна; m =2 - середня квадратична; m=3 - середня кубічна.
Їхні відповідні формули мають такий вигляд:
|
|
|
|
åX |
|
|
|
|
|
||
X = |
(середня арифметична); |
(4.17) |
|||||||||
|
n |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
г = n |
|
X n |
|
(середня геометрична); |
(4.18) |
|
|
|
X |
|||||||||
|
|
|
|
X1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
X гар |
|
|
(середня гармонійна); |
(4.19) |
|||||||||||
|
å |
|
|
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
кв |
= |
|
|
Х 2 |
|
|
(середня квадратична); |
(4.20) |
|||
Х |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
к = |
|
Х 3 |
|
|
(середня кубічна); |
(4.21) |
||||||
Х |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
У кожному конкретному випадку для реалізації логічної формули використовується певний вид середньої, а саме.
Середня арифметична використовується для осереднення прямих значень ознак шляхом їх підсумовування.
Якщо дані не згруповані, використовується середня арифме-
тична проста: |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
åx |
|
x1 + x2 |
+ ...+ xn |
|
|
|
x = |
= |
, |
(4.22) |
||||
|
n |
|
n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
де n- число варіантів; х- рівень ознаки.
Якщо дані згруповані, використовується середня арифметична зважена за частотою:
|
|
|
|
|
|
|
x1 f1 + x2 f |
2 |
+ ...+ xn |
fn |
|
|
åxf |
|
|||
|
|
|
|
|
x = |
|
= |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
(4.23) |
|||
|
|
|
|
|
|
f1 |
+ f2 |
+ ...+ fn |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å f |
|
|||||
|
де f- частота групи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
за часткою: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
= x1d + x2d2 + ... + xndn = å xd (d − в коефіцієнт ах) |
(4.24) |
|||||||||||||||
x |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x1d1 + x2d2 + ... + xn dn |
|
åxd |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x = |
= |
|
(d |
− у процентах) |
(4.25) |
||||||||||
|
|
100% |
|
|
|
100% |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Середня арифметична має певні математичні властивості, які
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
35
розкривають її суть.
1 Добуток середньої на суму частот завжди дорівнює сумі добутку варіантів на частоти, тобто:
|
|
å f = åXf . |
(4.26) |
X |
Якщо ліву і праву частини поділити на сталу величину, яка дорівнює å X , то дістанемо
|
|
|
åXf |
|
|
X = |
|
||||
|
. |
(4.27) |
|||
|
|||||
|
|
|
å f |
|
|
2 Якщо від кожного варіанта відняти будь-яке довільне число, то добута середня зменшиться на таке саме число, тобто:
|
|
A = |
å(X − A) f |
= |
|
− A, |
(4.28) |
|
X |
å f |
X |
||||
|
|
|
|
|
|
|
звідки X = X A + A, де X A - середня, обчислена з варіантів, зме-
ншених на значення А.
Отже, для визначення середньої величини слід до знайденої середньої додати число А, на яке зменшували кожний варіант.
3 Якщо до кожного варіанта додати будь-яке число, то середня збільшиться на це саме число, тобто:
|
|
A = |
å(X + A) f |
= |
|
+ A, |
(4.29) |
|
X |
å f |
X |
||||
|
|
|
|
|
|
|
звідки X = X A − A.
Отже, для визначення середньої величини слід від добутої збільшеної середньої відняти число А, на яке збільшували кожний варіант.
4 Якщо кожний варіант поділити на будь-яке число і, то середня арифметична зменшиться в стільки ж разів, тобто:
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
36
|
|
|
å |
X |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
X i = |
åi f |
= |
|
|
, |
(4.30) |
||||
|
i |
|||||||||
звідки X = X i i.
Отже, для визначення середньої величини треба знайдену зменшити в і разів середню величину збільшити в і разів.
5 Якщо кожний варіант помножити на будь-яке число і, то середня арифметична збільшиться в стільки ж разів, тобто:
|
|
i = |
å(X ×i) f |
= |
|
, |
(4.31) |
|
X |
å f |
Xi |
||||
|
|
|
|
|
|
|
звідки X = X i / i.
Отже, для визначення середньої величини треба отриману збільшену в і разів середню величину зменшити в і разів.
6 Якщо всі частоти поділити або помножити на будь-яке число, то середня арифметична від цього не зміниться.
Ця властивість базується на тому, що частоти при розрахунку середньої арифметичної мають значення ваги не як абсолютні величини, а як питомі ваги, що мають окремі варіанти в усьому варіаційному ряді. Збільшення чи зменшення однаковою мірою частоти в усіх варіантів не змінює питомої ваги кожного окремого варіанта в ряді, тобто
å X ( f × i) |
= X |
(4.32) |
å f × i |
7 Сума відхилень варіантів від значення їх середньої завжди дорівнює нулю:
å(x - |
|
) × f = 0 . |
(4.33) |
x |
Це означає, що в середній арифметичній взаємно погашаються
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
37
будь-які відхилення варіантів.
Для осереднення обернених показників використовується сере-
дня гармонічна.
Якщо дані не згруповані, то використовується середня гармо-
нічна проста:
|
|
|
|
= |
|
|
n |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
(4.34) |
||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
å |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ ...+ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
x |
2 |
|
x |
n |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для згрупованих даних використовують середню гармонічну |
||||||||||||||||||||||||
зважену: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
åw |
|
|
|
w1 |
+ w2 + ...+ wn |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x = |
= |
|
|
, |
(4.35) |
||||||||||||||||||
|
å |
w |
|
w |
|
w |
|
|
|
w |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ |
|
2 |
+ |
...+ |
n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
де w = xf - обсяг значень ознаки.
Середня хронологічна використовується для осереднення моментних показників. Якщо є два моментних показники (на початок і на кінець періоду), то середня розраховується як півсума значень за формулою:
|
= |
x1 + xn |
(4.36) |
|
x |
||||
|
||||
2 |
|
|||
де x1 - значення показника на початок періоду; хn - значення показника на кінець періоду.
Якщо моментів більш ніж два, а інтервали часу між ними рівні, то у чисельнику до півсуми крайніх значень додають усі проміжні, а знаменником є число, яке на одиницю менше від числа значень ознаки.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
|
|
|
38 |
|
|
|
|
x1 + xn |
+ x2 + ...+ xn−1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x = |
|
. |
(4.37) |
||
|
n -1 |
||||
|
|
|
|
|
|
Така формула називається середньою хронологічною.
4. Середня геометрична використовується для осереднення ланцюгових відносних величин динаміки і розраховується за формулою:
|
= n |
|
= n |
|
, |
|
|
Õx |
(4.38) |
||||
x |
x1 × x2 ×...xn |
де П – символ добутку;
х1, х2, …, хn - ланцюгові відносні величини динаміки. n - число значень ознаки
5. Середня квадратична використовується в статистиці при розрахунках показників варіації, її формула має такий вигляд:
|
|
|
|
|
|
|
|
åx2 |
|
|
|
x = |
,. |
(4.39) |
|||
n |
|||||
|
|
|
|
||
n- число варіантів
Застосування середньої квадратичної розглядається в наступній темі при вивченні показників варіації.
Середня прогресивна.
У практиці планування, розрахунку нормативів часто вдаються до визначення середньої прогресивної. Відомо, що при обчисленні загальної середньої для розрахунку беруть всі варіанти. При розрахунках середньої прогресивної враховують тільки кращі показники з точки зору інтересів виробництва.
Для обчислення середньої прогресивної діють таким чином. З усього ряду варіант (значень ознаки) будують ранжирований ряд і знаходять їх середнє значення, яке ділить ряд на дві частини: частина значень ряду нижче загальної середньої і частина ряду вище загальної середньої.
При обчисленні середніх прогресивних можливі два випадки: Перший випадок. Кращими будуть показники ранжированого
ряду, які є вищими від загальної середньої. Наприклад: урожайність, денний виробіток робітника, рентабельність.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
39
У цьому випадку середню прогресивну визначають так:
-з усіх варіант (х) визначають загальну середню ( x );
-відбирають кращі індивідуальні показники, тобто ті, які перевищують загальну середню;
-за кращими показниками обчислюютьнову середню, яка і буде
середньою прогресивною ( x′ )
Другий випадок. Характер показників такий, коли кращими будуть показники ранжированого ряду, які знаходяться нижче від загальної середньої.
ТЕМА 5 АНАЛІЗ РЯДІВ РОЗПОДІЛУ.
5.1 Частотні характеристики рядів розподілу
Характерні риси та особливості структури статистичної сукупності відображаються в рядах розподілу (атрибутивних та варіаційних). Частотними характеристиками будь-якого ряду є: частота (f); частка (d). Додатковою характеристикою варіаційних рядів є кумулятивна (нагромаджена) частота (частка), яка є результатом послідовного об'єднання груп і підсумовування відповідних їм частот (часток).
Якщо інтервали варіаційного ряду нерівні, то використовують щільність частоти (частки) на одиницю інтервалу, яка розраховується за формулами:
q = |
|
f |
, |
|
h |
||
або |
|
||
|
(5.1) |
||
q = dh ,
де h - ширина інтервалу.
5.2 Характеристики центру розподілу
До характеристик центру розподілу відносять середню, моду та медіану.
Мода і медіана належать до структурних або впорядкованих середніх величин, т.як характеризують структуру цих сукупностей.
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
40
Середня величина характеризує типовий рівень ознаки в сукупності.
Мода (Мо) - найпоширеніше значення ознаки, тобто варіанта, яка в ряду розподілу має найбільшу частоту (частку). Моду використовують у комерційній діяльності, коли вивчають ринок попиту, у соціальних дослідженнях - встановлюється рейтинг популярності осіб чи товарів.
У дискретному ряду Мо визначається візуально за максимальною частотою або часткою.
В інтервальному ряду за найбільшою частотою визначається модальний інтервал. Конкретне значення моди в інтервалі обчислюється за формулою:
M 0 |
= x0 |
+ h |
|
fm0 |
− fm0−1 |
, |
(5.2) |
|
( fm0 |
− fm0−1 ) + ( fm0 − fm0+1 ) |
|||||||
|
|
|
|
|
||||
де х0- нижня межа модального інтервалу; h – ширина модального інтервалу;
fm0- частота (частка) модального інтервалу,
fm0-1 - частота (частка)передмодального інтервалу;. fm0+1 – частота (частка) післямодального інтервалу.
Медіана (Me) - варіанта, яка припадає на середину упорядкованого ряду розподілу і ділить його на дві рівні за обсягом частини. Медіана вказує на значення варіаційної ознаки, якого досягла половина одиниць сукупності.
Медіану в дискретному варіаційному ряді визначають за сумою всіх частот, яку треба поділити на дві і до отриманого результату додати 0,5:
NMe = |
å f |
+1 |
|
(5.3) |
|
2 |
|
|
|||
В інтервальному ряду визначається медіанний інтервал і зна- |
|||||
чення медіани в інтервалі за формулою: |
|
|
|||
M e = x0 + h |
0,5å f − Sfme−1 |
, |
(5.4) |
||
fme |
|||||
|
|
|
|
||
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com