Методичка

61

Таблиця 3.2

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

62

Таблица 3.4

3.2.5 Перейшовши до полярних координат, побудувати криву, задану рівнянням у декартових координатах.

1.(x2 + y2 )2 = 36(x2 − y2 )

2.(x2 + y2 )2 = 18xy

3.(x2 + y2 )3/ 2 = 4xy

4.(x2 + y2 )3/ 2 = 4(x2 − y2 )

5.(x2 + y2 )3/ 2 = 3x2 y − y3

6.(x2 + y2 )3/ 2 = x3 − 3xy2

7.(x2 + y2 )5/ 2 = 8xy(x2 − y2 )

8.(x2 + y2 )3 = 16xy(x2 − y2 )

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

63

9.(x2 + y2 − x)2 = 4(x2 + y2 )

10.(x2 + y2 − 3y)2 = 9(x2 + y2 )

11.(x2 + y2 )2 = 9(x2 − y2 )

12.(x2 + y2 )2 = 8xy

13.(x2 + y2 )3/ 2 = 6xy

14.(x2 + y2 )3/ 2 = x2 − y2

15.(x2 + y2 )3/ 2 = 2(3x2 y − y3 )

16.(x2 + y2 )3/ 2 = 2(x3 − 3xy2 )

17.(x2 + y2 )5/ 2 = 4xy(x2 − y2 )

18.(x2 + y2 )3 = 4xy(x2 − y2 )

19.(x2 + y2 − 2x)2 = 4(x2 + y2 )

20.(x2 + y2 )2 = 16(x2 − y2 )

21.(x2 + y2 )2 = 2xy

22.(x2 + y2 )2 = xy

23.(x2 + y2 )3/ 2 = 2(x2 − y2 )

24.(x2 + y2 )3/ 2 = 3(3x2 y − y3 )

25.(x2 + y2 )3/ 2 = 3(x3 − 3xy2 )

26.(x2 + y2 )5 / 2 =12xy(x2 − y2 )

27.(x2 + y2 − 2x)2 = 9(x2 + y2 )

28.(x2 + y2 )3 = 36xy(x2 − y2 )

29.(x2 + y2 − 2y)2 = 4(x2 + y2 )

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

64

30.(x2 + y2 )3/ 2 = 3(x2 - y2 )

4.ПРЯМА ТА ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ

4.1Аудиторні завдання

1.Знайти рівняння площини, яка проходе через точки

А(1; -1; -1), В(2;1; 5) та С(1; 1; 3).

2.Знайти параметричні рівняння прямої, яка проходе через точку

А(1; 1; 3), та паралельна прямій x 2-1 = y0+1 = -z1 .

3.Знайти рівняння площини у відрізках, якщо площина проходе через точку А(1; 2; 3) та паралельна площині 6x + 3y − 2z = 0 .

4.Для точки А(-2; -2; 9) та площини α : 2x + 2y − z −1 = 0 знайти

проекцію точки на площину та відстань від точки до площини.

5. Знайти точку симетричну точці А(1; 1; 3) відносно прямої,

яка проходе через точки В(1; -1; -1) та С(2;1; 5). ( 9741 ; - 1141; 13141 ).

8. Знайти відстань між прямою x 1−1 = y 2+1 = z 6+1 та прямою, яка

проходе через точки А(-2; -2; 9) та В(1; 1; 3). ( 4 55165 ).

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

65

4.2 Індивідуальні завдання

Задано точки A; B; C; D знайти:

1.Рівняння площини (АВС) у «відрізках» та побудувати її.

2.Рівняння прямої, яка проходе через точку С та паралельна прямій

(АВ).

3.Рівняння площини, що проходить через точку C перпендикулярно прямій АВ.

4.Рівняння прямої, яка проходить через точку D перпендикулярно до площини (АВС).

5.Рівняння площини, що проходить через точку D паралельно площині (АВС).

6.Відстань від точки D до площини (АВС).

7.Проекцію точки D на площину (АВС).

8.Точку симетричну точці D відносно площини (АВС).

9.Точку симетричну точці С відносно прямої (АВ).

10.Кут між прямими (АВ) та (СD).

11.Кут між прямою (СD) та площиною (АВС).

12.Відстань між прямими (АВ) та (СD).

Варіанти індивідуальних завдань

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

66

5.ПОВЕРХНІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

5.1Аудиторні завдання

5.1.1.Звести рівняння до канонічного вигляду, визначити тип поверхні та зробити схематичне креслення:

а) 4x2 + 25y2 +100z2 +16x − 50y + 200z + 41 = 0 ; б) x2 + 2y2 + 6x −16y − 8z + 49 = 0 ;

в) 4x2 − 9y2 − 8x − 36y + 4 = 0

5.2.Індивідуальні завдання

5.2.1Звести рівняння до канонічного вигляду, визначити тип поверхні та зробити схематичне креслення:

1.а) x2 + z2 − 4z + 2x − 4 = 0 ;

б) x2 + 2y2 − 2x + 8y + 8z + 9 = 0;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

3.а) 2x2 + y2 + 6z 2 + 6y +12z − 3 = 0;

б) 16x2 + 9z 2 + 64x + 32y −18z + 41 = 0 ; в) 3x2 + 4y2 − 6x + 8y − 5 = 0 .

4.а) 4x2 − 2y2 + z 2 −16x − 8y + 2z − 7 = 0 ; б) 2y2 − 4y + 5z + 7 = 0 ;

в) 25x2 + 4y2 + 25z 2 −150x +16y +141 = 0 .

5.а) − 9x2 + 4y2 + 9z2 −18x −16y −18z − 20 = 0 ;

б) x2 − 2x + y + 9 = 0 ;

в) 4x2 +100y2 + 25z2 − 24x + 200y +100z +136 = 0 .

6.а) 9x2 + 36y2 + 4z2 −18x +144y + 24z +153 = 0 ; б) 16x2 − 9y2 − 32x +160 = 0 ;

в) x2 − 4y2 + 2x − 8y − z = 0.

7. а) x2 + y2 + z 2 + 4x − 2y + 2z − 3 = 0;

б) 3x2 − 6x − 2z + 5 = 0 ;

в) 4x2 − 9y2 + z2 + 24x − 36y − 2z +1 = 0.

8.а) 9x2 − 36y2 + 4z2 −18x −144y − 24z −135 = 0 ; б) 3x2 + 2y2 + 6x − 4y −1 = 0 ;

в) 4x2 − 4y2 − 36z2 +16x − 8y + 72z − 40 = 0 .

9.а) x2 + 2y2 − 3z2 + 4x − 4y − 6z − 9 = 0 ;

б) 4x2 + 25y2 +100z2 +16x − 50y + 200z + 41 = 0 ; в) x2 − 4y2 − 8y +12 = 0 .

10.а)16x2 + 9z 2 + 32x −144y − 36z +196 = 0 ;

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

68

б) x2 + 2y2 + 8y = 0 ;

в) x2 + y2 + z 2 + 6x − 2y − 8z + 22 = 0 . 11. а) 4x2 − z2 − 8x −12 = 0 ;

б) x2 + 2y2 − 8z2 + 2x + 8y +16z + 9 = 0 ;

в) x2 + y2 + z 2 − 8x +16y − 2z = 0 .

12.а) 5x2 + 4y2 + 4z2 + 20x − 8y − 24z − 40 = 0 ; б) 16y2 + 9z 2 −144x − 64y + 36z −188 = 0 ; в) 3x2 − 6x − 2y − 5 = 0.

13.а) 2x2 − z2 − 4x = 0;

б) x2 + 2y2 − 2x + 8y + 8z + 9 = 0;

в) − x2 + 4y2 + 9z2 + 2x +16y + 54z + 60 = 0 . 14. а) 3y2 + 2z 2 − 6y + 4z −1 = 0 ;

б) 9x2 + 4y2 − z 2 + 36x + 24y + 2z + 71 = 0 ; в) 2x2 + 8y2 + z2 − 8x − 48y + 72 = 0 .

15. а) 4x2 − 25y2 + 5z2 − 8x + 50y + 20z + 99 = 0;

б) x2 + z 2 − 6x + 8z − 39 = 0 ;

в) 4x2 + 9z2 + 36y −18z + 81 = 0 .

16.а) x2 + 2y2 + 4z2 − 6x − 4y −16z +11 = 0 ; б) x2 + 2y2 − 8z2 + 2x − 8y +16z − 7 = 0 ; в) 2x2 + 5y2 − 4x +10y − 3 = 0 .

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com

70

б) 3y2 + 2x +12y +10 = 0 ;

в) 9x2 - y2 + 4z2 -18x - 2y + 4z - 24 = 0 .

29.а) 4x2 - 9y2 - z2 + 8x +18y - 4z - 45 = 0;

б) x2 + y2 + z 2 - 2x - 6y + 4z -11 = 0 ;

в) 2x2 + 5z2 + 4x -10z - 3 = 0 .

30.а) y2 + 4z2 + 36x + 4y - 24z + 4 = 0;

б) x2 + y2 - 4x + 8y - 5 = 0 ;

в) 4x2 + y2 + 4z2 +16x - 2y - 8z + 5 = 0 .

6.ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ

6.1Аудиторні завдання

1.Нехай a = (x, y, z). Чи будуть лінійними наступні перетворення:

Aa = (x2 , x - z, y + z), Ba = (1, x - z, y + z), Ca = (x, x - z, y + z)?

2.Знайти матрицю в базисі {e1 ,e2 ,e3 }, яка в базисі {i, j, k} має вигляд

e3 = -i + 2 j + k .

3. Знайти власні значення та власні вектори матриці:

4.Привести квадратичну форму до канонічного вигляду:

x2 + 5y2 + z2 + 2xy + 6xz + 2yz .

5.Дослідити криву другого порядку та побудувати її:

x2 + y2 - 4xy + 4x - 2y +1 = 0

PDF создан испытательной версией pdfFactory Pro www.pdffactory.com