лекции ММ ОМД

Заметим, что в методе секущих удобно можно фиксировать наиболее удобное для первого шага значение

, при котором все секущие параллельны касательной, проведѐнной к графику при .

При таком выборе метод секущих называется методом одной касательной. Формула итераций этого метода имеет вид

Как видно из этой формулы, производную придѐтся вычислить только один раз, а затем на каждом шаге использовать значение

или, что то же, .

Рис..Итерации метода одной касательной

При таком выборе в точке выполнено равенство

21

и если отрезок, на котором отделѐн корень и выбрано начальное приближение , достаточно мал, а производная непрерывна, то значение будет не сильно отличаться от и, следовательно, график будет пересекать

прямую , идя почти горизонтально. А это, как мы отмечали выше, будет давать нам быстрое приближение итераций к корню

(так как число при этом можно выбрать равным , а эта величина мала).

33. Метод Ньютона (метод касательных)

Можно предположить, что итерации станут приближаться к корню быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо секущей не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид

(1)

Этот метод называется методом касательных, или методом Ньютона. Последовательные приближения метода Ньютона сходятся гораздо быстрее, чем в общем методе итераций .

Поскольку для метода Ньютона

то

В точке получаем , так как . Тем самым, в

этом методе график пересекает прямую в точности по горизонтали, что приводит к очень быстрой сходимости итераций к . Именно, имеет место оценка

2)

где -- некоторая постоянная (не зависящая от ). Если начальное приближение взято достаточно близко от корня ,

то можно взять .

Скорость сходимости итераций, которая задаѐтся формулой (9.2), называется квадратичной. Квадратичная скорость сходимости означает, примерно говоря, что число

верных знаков в приближѐнном значении удваивается с каждой итерацией. Действительно, если , и

, то . Это и означает, что число верных знаков при переходе к следующему приближению возросло с до , то есть удвоилось.

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику

приближения , а за следующее приближение берѐм

22

точку пересечения этой касательной с осью . Тем самым наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом (ведь кривизну графика, связанную с второй производной, мы не учитываем, и поэтому неизвестно, в какую сторону от касательной отклонится график).

Рис.. Последовательные приближения метода Ньютона

По-другому идею метода Ньютона мы можем описать так:

на каждом шаге вместо исходного уравнения мы

решаем приближѐнное, линеаризованное в точке уравнение

в котором левая часть -- это многочлен Тейлора первого порядка для функции в точке , то есть линейная функция

все коэффициенты первого столбца, лежащие ниже главной диагонали.

Затем при помощи второго уравнения исключим из третьего, четвертого и т. д. уравнений коэффициенты второго столбца. Последовательно продолжая этот процесс, исключим из матрицы все коэффициенты, лежащие ниже главной диагонали.

Запишем общие формулы процесса. Пусть проведено исключение коэффициентов из k-1 столбца. Тогда остались такие уравнения с ненулевыми элементами ниже главной диагонали:

(3)

Умножим k-ю строку на число

(4)

и вычтем из m-й строки. Первый ненулевой элемент этой строки обратится в нуль, а остальные изменятся по формулам

(5)

Производя вычисления по этим формулам при всех указанных индексах, исключим элементы k-го столбца. Будем называть такое исключение циклом процесса. Выполнение всех циклов называется прямым ходом исключения.

Исключение по формулам (4) нельзя проводить, если в ходе

расчета на главной диагонали оказался нулевой элемент Но в первом столбце промежуточной системы (3) все элементы не могут быть нулями: это означало бы, что det A = 0. Перестановкой строк можно переместить ненулевой элемент на главную диагональ и продолжить расчет.

Для уменьшения вычислительной погрешности можно каждое повторение внешнего цикла начинать с выбора максимального по

24

модулю элемента в k-том столбце (главного элемента) и перестановки уравнения с главным элементом так, чтобы он оказался на главной диагонали. Этот вариант называется методом Гаусса с выбором главного элемента.

В качестве одной из характеристик эффективности того или иного алгоритма используют вычислительные затраты, измеряемые количеством элементарных операций, которые необходимо выполнить для получения решения.

Для прямого хода метода Гаусса число арифметических операций, в соответствии с формулами (15), (16), равно

Q1 n 23n3 32 n 2 136 n

Метод Гаусса применим для решения любых систем линейных уравнений, так как он позволяет получить решение системы, если оно существует (включая случай, когда часть неизвестных является свободной и решений бесконечно много) и обнаружить отсутствие решения (когда система несовместна). В последнем случае после очередного k-го шага прямого хода обнаруживается ситуация, когда все элементы матрицы системы ниже k-ой строки равны нулю, а среди соответствующих компонент вектора b есть ненулевые значения.

36 Итерационные методы решения систем линейных алгебраических уравнений . Общая схема

() (1)

Рассмотрим общее описание метода итераций для системы линейных алгебраических уравнений с квадратной матрицей В этом случае по некоторому алгоритму, начиная с выбранного

вектора строится последовательность векторов .

, .

Таким образом, выполнение любого из неравенств

, достаточно для сходимости итерационного метода. Достаточные условия сходимости для итерационного метода,

записанного в канонической форме (2) , имеют вид:

(4)

Тогда метод итераций

Напомним, что матрица положительная, если для любого ненулевого вектора x (Ax,x)>0.

37. Варианты итерационных методов. Методы простых итераций и Якоби

Метод простых итераций

В качестве первого примера рассмотрим явный стационарный итерационный метод, каноническая форма которого:

Метод Якоби

Координатная форма записи этого варианта итерационного метода имеет вид:

.

Эти формулы получаются непосредственно из исходной системы:

26

если i - ое уравнение системы разрешить относительно

неизвестного . Подставляя сюда

,

получаем

или, в каноническом виде,

.

38. Варианты итерационных методов. Методы Зейделя и релаксации.

Весьма широко на практике применяется итерационный метод Зейделя:

Запишем этот метод в матричной форме. Для этого представим матрицу A в виде суммы

,

где

, - нижняя треугольная матрица,

, - верхняя треугольная матрица.

В этих обозначениях метод Зейделя записывается следующим образом:

(28)

Применим теорему 2 для исследования сходимости метода Зейделя.

. В этом случае

,

,

если . Следовательно, метод Зейделя сходится, если . Неравенство следует из условия .

Таким образом, метод Зейделя всегда сходится, если A - положительная матрица.

Метод релаксации

Можно ускорить сходимость метода Зейделя, если ввести итерационный параметр (параметр релаксации) .Получим

.

Значение соответствует методу Зейделя.

39. Классификация дифференциальных уравнений в частных производных.

Приближенные методы решения наиболее разработаны для диф-

27

ференциальных уравнений в частных производных второго порядка с двумя независимыми переменными. Для решения многих практических задач необходимо рассматривать так называемые линейные или вполне линейные дифференциальные уравнения в частных производных, т. е. дифференциальные уравнения первой степени относительно искомой функции и всех ее производных и не содержащие их произведений. Такие уравнения можно представить в следующем виде:

В уравнении (1) искомой является функция z, а х и у — независи-

мые переменные. Функции А (х, у), В (х, у), С (х, у}, а(х, у), b(х, у}, с (х, у) — непрерывные функции от х и у, имеющие непрерывные частные производные.

Проведем классификацию дифференциальных уравнений в частных производных, основанную на рассмотрении уравнения

(1). Введем обозначения

(для удобства записи частных производных «штрихи» опускаются) и рассмотрим упрощенную форму уравнения (I):

соответствующую (1) при a b c F 0 .

Уравнение (2) всегда может быть приведено к одной из трех стандартных канонических форм. Этими формами являются эллиптические, параболические и гиперболические дифференциальные уравнения в частных производных. Тип уравнения определяется значением коэффициентов в выражении

(2) и связан со знаком дискриминанта

B 2 x , y 4A x , y C x , y

в выражении (2).

В зависимости от знака дискриминанта имеем:

0 — эллиптический тип в точке (х, у);

0 — параболический тип в точке (х, у);

0 — гиперболический тип в точке (х, у).

Если коэффициенты A, В и С постоянные, не зависящие от х и у, то канонические уравнения являются полностью эллиптическими, параболическими или гиперболическими.

40. Дифференциальные уравнения эллиптического, параболического и гиперболического типа.

Чтобы показать, как строятся канонические дифференциальные уравнения в частных производных, рассмотрим выражение (2) с постоянными А, В и С. Введем две новые переменные

где

Поскольку уравнение (2) линейное относительно производных искомой функции z(х,у), то решение z(х, у) этого уравнения может быть представлено в форме

Рассмотрим функцию z(х,у) как функцию z , двух новых переменных и . Тогда, учитывая замену переменных (3) и вид

искомой функции (4), получим для частных производных следующие выражения:

Используя найденные значения производных, представим уравнение (2) в виде

Рассмотрим уравнение

оно имеет два корня а1 и а2 , которые могут быть действительными

28

и различными, действительными и равными или комплексно

сопряженными. Тип корней зависит от величины дискриминанта В2 — 4АС.

В случае В2 — 4АС >0 корни а1 и а2 уравнения (6) действительны

и различны, причем коэффициенты первого и третьего членов выражения (5) равны нулю. При этом равенство (5) имеет вид

канонической формы гиперболического дифференциального уравнения в частных производных

или

соответствующей выражению (1).

Перейдем к построению канонической формы дифференциального уравнения эллиптического типа. Если В2 — 4АС = 0, то оба корня

а1 и а2 уравнения (6) — действительные числа и переменные и являются зависимыми. Положим один из корней равным

Подставляя а1 и а2 в соотношение (5), получим

Выражение (8) является канонической формой параболического дифференциального уравнения в частных производных. В общем случае его можно записать в виде

Если В2 — 4АС < 0, то а1 и а2 являются комплексно сопряженными:

а1 b1 ib2 и а2 b1 ib2 . Тогда равенство (5) принимает вид

Выражение (9) является канонической формой дифференциального уравнения эллиптического типа. В общем случае уравнение (9)

можно записать так:

Классическими примерами дифференциальных уравнений в частных производных являются уравнение Лапласа

(имеющее каноническую эллиптическую форму),

уравнение теплопроводности

(имеющее каноническую параболическую форму) и

волновое уравнение

(имеющее каноническую гиперболическую форму).

41. Конечно-разностные аппроксимации.

Конечно-разностные аппроксимации для частных производных являются наиболее распространенным подходом к численному интегрированию дифференциальных уравнений в частных производных.

Частные производные заменяются соответствующими разностными соотношениями по соответствующим независимым переменным. В общем случае размерность области, в которой необходимо найти решение дифференциального уравнения в частных производных, равна числу независимых переменных. В случае двух независимых переменных х и у область является двумерной.

29

Метод, используемый для конечно-разностной аппроксимации, основывается на покрытии области сетью прямоугольных клеток шириной h (в направлении оси Ох) и высотой k (в направлении оси Оу}. Величина зависимой переменной z=z(x,y) устанавливается в любой точке в пределах области. В частности, когда задана одна точка прямоугольной сети с координатами x r , y s , окружающие ее

четыре точки имеют координаты

x r h ,ys ; x r h ,ys ; x r ,ys h ; x r ,ys h . Геометрический способ покрытия области сеткой показан на рис. 10.1, Введем следующие операторы: Е — оператор приращения; —

оператор центральных разностей; — разностный оператор опережения; D — дифференциальный оператор.

Эти операторы определяются следующими соотношениями:

Представим f(х + h) в виде разложения в ряд Тейлора:

Используя оператор D, представим оператор Е в виде

или, пользуясь разложением экспоненциальной функции ehD в ряд Тейлора, преобразуем выражение (6) так:

Тогда зависимость оператора Е от D может быть представлена в форме

или

Из выражений (1) и (2) получаем следующее соотношение между операторами Е и :

или

Подставляя выражение (10) в формулу (8), получим

Используя разложение логарифмической функции в ряд:

получим следующее выражение для оператора D:

Распространяя изложенный метод на разности второго порядка, имеем

или

В формулах (13) и (15) можно ограничиться подходящим числом членов, чтобы получить конечно-разностное представление для производной с желаемой точностью. Ограничиваясь в каждом выражении первой и второй разностью для производных:

имеем соответственно

Для наглядного представления уравнений вида (18) и (19) используют шаблоны, имеющие следующий вид:

30

В приведенных шаблонах в центре кругов указываются коэффициенты дифференциального уравнения. Круг центральной части шаблона соответствует величине zr . Положительным

приращениям по горизонтальным линиям (рис. 10.1) соответствует левый конец, отрицательным — правый конец шаблона. Аналогичные шаблоны можно получить и в случае использования

оператора центральных разностей. Полагая в соотношении (6) значения переменной равными х + h/2 и х — h/2, имеем

поэтому, пользуясь соотношением (4), получаем

или в операторном виде

т. е.

Непосредственным возведением в степень получим