лекции ММ ОМД

ме. Во всех таких моделях предполагается, что источники синусоидальные, а материалы имеют линейные характеристики. В случае когда источники несинусоидальные (что часто бывает в устройствах, питаемых от полупроводниковых выпрямителей), токи и напряжения можно разложить в ряд Фурье и рассмотреть каждую гармонику, а затем объединить полученные решения.

При использовании этого метода важно учитывать поверхностный эффект, вызываемый гармониками высокого порядка. Тогда используемые «разделенные» уравнения должны учитывать гармонику самого высокого порядка, сохраняемую

Общее замечание, касающееся движущихся областей. Пере-

мещения области в неоднородном магнитном поле вызывает изменение магнитного поля в движущемся объекте, в результате чего возникают индуцированные токи, которые могут описываться законом Лапласа

где V—скорость рассматриваемой области. Эти токи необходимо учитывать в магнитодинамических моделях.

Индуцированные токи А/дn необходимо заменять суммой дА/д1+ VXВ, которую в свою очередь можно выразить

функцией только одного векторного потенциала

Когда скорость перемещения V не слишком высока (электродвигатели или электромагнитные насосы), для численных моделей этот член можно считать дополнительным. Сложность задачи состоит лишь в имитации перемещения областей, для чего необходимы соответствующие устройства моделирования (деформация конечных элементов в зазоре, макроэлементы трения и т. д.). Эти устройства еще находятся в стадии разработок и не имеют пока широкого применения.

24. Потери и механизмы теплопередачи.

Потери неизбежны, хотя по своему эффекту они могут быть как желательными (например, в нагревательных индукционных устройствах), так и нежелательными (во вращающихся

11

электрических машинах). Они возникают под действием электрических токов. Тепловая мощность описывается законом Джоуля

Поле температур Т должно удовлетворять классическому представлению тепловой диффузии

с классическими граничными условиями:

—температура непрерывна на внешней границе;

—тепловой поток непрерывен на стенке: здесь различают следующие случаи:

• нет обмена с внешним пространством, т» е. величина

•тепловой поток рассчитывается (или измеряется) при условии.

что

•если стенка погружена в жидкость (или газ) со средней температурой Tа, то количество передаваемого тепла определяется

где Тs—температура стенки; h—коэффициент конвективной теплоотдачи поверхности;

• количество тепла, отдаваемого рассматриваемой областью окружающему пространству посредством изучения. В этом случае

—плотность материала; Ср—теплоемкость (зависит от T);

k — теплопроводность (зависит от T), для изотропных материалов это скалярная величина, для анизотропных (в частности, для слоистых магнитных цепей)—тензор; —коэффициент испускания, характеризующий излучательные свойства стенок;

—постоянная Больцмана. ; Модель следует дополнить в том случае, когда область

перемещается со скоростью V. Тогда получаем

Решение этих уравнений не представляет трудностей даже в том случае, когда свойства зависят от температуры. Однако известные осложнения возникают при расчетах членов, описывающих излучение, особенно при учете эффектов отражения назад от стенок рассматриваемой областью.

Если отдельные участки области находятся в движении, то имитация этих перемещений вызывает сложные технические проблемы, которые в общем случае нельзя решить стандартными средствами САПР.

Наконец, часто плохо известны законы изменения величин Ср, k, h и в в зависимости от температуры для используемых материалов (особенно коэффициентов теплоотдачи).

25. Модели механических явлений

О механических явлениях можно сказать то же, что и о тепловых эффектах: они возникают, как только появляется магнитное поле, являясь конечной целью устройства ( в двигателях или контакторах), либо вторичными и нежелательными (в трансформаторах, индукторах и т. д.).

Всреде, по которой протекают токи, развиваются силы, величины которых определяются произведением J X В.

Всреде без тока силы и вращающие моменты рассчитываются либо путем непосредственного применения тензора Максвелла

либо с помощью вариационной формулы (когда можно определить величину изменения энергии при случайных перемещениях)

Определив характер механических явлений, оценим их воздействие на исследуемый объект.

Если имеется твердое тело, то в общем случае используется обычная модель упругости

12

где G и характеризуют свойства материала, —упругие перемещения (неизвестная векторная величина), a F—при- ложенные силы.

Эти уравнения решаются большинством логических САПР, специализирующихся на задачах механики и дающих даже для областей сложной формы в основном блестящие результаты.

Если имеется жидкость, находящаяся под воздействием предварительно рассчитанных сил (случай электромагнитного насоса), то следует использовать уравнения Навье-Стокса. Этот случай особенно сложен, и обычно используемые средства САПР дают надежные решения только для случая турбулентных течений; при этом необходимо еще провести большую исследовательскую работу по моделированию высокоскоростных течений с заданной точностью. Тогда гидравлическая модель описывается следующим образом:

где U—скорость с составляющими и, v, w. U —тензор со-

.

ставляющих gradu, gradv gradw;U —тензор первых производных (предыдущее перемещение), —плотность жидкости; —вязкость жидкости; F.—удельная сила, действующая на жидкость.

26. Технология выбора полевой модели модели и численного метода

Инженер, решающий задачу средствами САПР, прежде всего должен уметь правильно выбрать модель для своих дальнейших исследований. Затем он должен выбрать соответствующую САПР для построения модели. Выбор таких систем достаточно богат, так что в настоящее время можно учесть все представленные нами модели. Однако следует с должным вниманием относиться к проверке положений, на основании которых строится модель. Выбрать соответствующую САПР бывает не всегда просто, и, возможно, в будущем большую помощь инженеру в этом деле окажут экспертные системы.

Далее, после выбора модели САПР уже освобождает пользователя от необходимости вникать в детали методов решений уравнений. И все же, если инженер изучает возможности новой САПР или хочет произвести сравнительную оценку различных логических схем, он должен овладеть основами этих методов, без знания которых большая часть приведенных нами уравнений останется неразрешенной. В следующей главе описывается в общих чертах решение уравнений в частных производных численными методами с помощью .САПР.

Ранее было показано, что основные методы, описывающие работу электротехнических устройств, используют уравнения в частных производных. Эти устройства могут быть объектами очень сложной геометрической формы (двигатели, трансформаторы и т. д.).

Оказывается, что такие аналитические методы, как метод конформных преобразований, метод изображений, метод разделения переменных, использовать очень трудно и даже невозможно в силу постоянно увеличивающейся геометрической сложности объектов проектирования, а также нелинейных характеристик ряда материалов, из которых они изготавливаются. И тогда единственно возможными методами становятся численные методы, в которых особое значение имеет дискретизация. С их помощью уравнения полей в частных производных преобразуются в систему алгебраических уравнений, решение которых дает аппроксимацию поля в дискретных точках на плоскости и в пространстве. В методе конечных разностей используется дискретизация уравнений поля в частных производных, метод конечных элементов в своей вариационной или проекционной формулировке исходит из соответствующей физической задачи, а методы интегрирования используют теорему Грина для удовлетворения условий на границе.

Методы конечных разностей позволяют получить удовлетворительные решения для многочисленных задач, но при этом важное место отводится составлению алгоритма и про-

13

ведению пробного эксперимента. Интегральные методы для этого типа задач являются новыми, а их практическое применение всегда слишком сложно и относится к прерогативе специалистов (см. литературу).

Метод конечных элементов, обладающий большой гибкостью и пригодностью для описания устройств со сложной геометрией, очень широко используется для решения почти

27. Приближѐнное нахождение корней уравнений и точек экстремума. Отделение корней

В этой главе речь пойдѐт о приближѐнном нахождении корней уравнения f (x) 0 . Дело в том, что решить это уравнение "точно",

то есть выразить его корни x1, x2 ,.. через известные постоянные (целые числа, числа e, и другие им подобные) с помощью элементарных функций от этих постоянных, удаѐтся далеко не всегда. Уже корни многочленов степени выше 4 не всегда выражаются "в радикалах", а общей формулы для уравнения степени выше 4, которая годилась бы при любых коэффициентах уравнения, вообще не существует. Да и в случае, когда такая формула существует, бывает, что от неѐ мало практического толку ввиду сложности получающихся выражений.

Во многих приближѐнных методах нахождения корня уравнения f (x) 0 заранее требуется знать какой-либо отрезок a, b, на котором лежит искомый корень x* , и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не

Отделить корень - значит указать такой отрезок, на котором корень отделѐн. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделѐн на каком-либо

отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделѐн.

Кроме того, часто нужно знать начальное приближение x0 к корню x* (который неизвестен). В качестве этого начального приближения берут, как правило, любую точку отрезка, на котором отделѐн корень, например, его середину x0 a b2 , если описание метода не предписывает поступить как-нибудь иначе.

Если функция 0 непрерывна на отрезке a, b , причѐм значения еѐ в концах отрезка f (a) и f (b) - это числа разных знаков, то на отрезке a, b лежит по крайней мере один корень уравнения

0 .

Практический смысл теоремы в том, что если мы, вычисляя значения функции в некоторых точках, видим, что вычисление в двух соседних точках даѐт значения разных знаков, то на отрезке между этими точками лежит отыскиваемый корень. Если же известно заранее, что корень

14

один, то получаем, что корень отделѐн на найденном отрезке. Этот же способ, когда мы наугад вычисляем значения функции в каких-то точках, может привести к отделению корней и в случае, когда корней несколько, но заранее известно их число или хотя бы оценка сверху для их количества. Рассмотрим иллюстрирующий сказанное пример.

, длина которого ровно в два раза меньше длины

исходного отрезка . Обозначим этот отрезок половинной длины через (то есть положим в случае, когда и разных знаков, и

в случае, когда и одного знака).

Далее повторим процесс для отрезка : снова отыщем его середину , найдѐм значение функции и сравним знак этого числа со знаком ; если знаки разные, то корень отделѐн на , если одинаковые, то на (или же оказывается, что

; тогда корень найден). Длина отрезка, на котором отделѐн корень, уменьшилась ещѐ в два раза.

Рис. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню

15

Поступая тем же образом и далее, получаем, что после делений длина отрезка, на котором лежит корень,

сокращается в раз и становится равной (если корень не был точно определѐн на каком-то предыдущем

этапе, то есть не совпал с при некотором ). Пусть -- заданная точность, с которой требуется отыскать корень. Процесс деления отрезков следует остановить, как только

станет верным неравенство . Очевидно, что если при этом положить

то расстояние от корня , лежащего где-то в интервале , до середины этого интервала будет не больше , то есть приближѐнное равенство будет выполнено с нужной точностью.

Поскольку при каждом делении отрезка приходится ровно

один раз вычислять значение функции (в том из концов нового отрезка, в котором это значение не было вычислено на предыдущих этапах), то в среднем придѐтся для нахождения корня

с точностью вычислить значение функции раз. Число можно определить из неравенства , откуда

Метод деления отрезка пополам, не предъявляет никаких требований к гладкости функции (то есть к существованию еѐ производной): достаточно, чтобы функция была непрерывной.

29. Метод простых итераций. Технология вычислительного процесса.

Предположим, что уравнение f x 0 при помощи некоторых тождественных преобразований приведено к виду

x (x) .

качестве нового аргумента функции, то это означает, что через точку графика проводится горизонталь до прямой y x , а оттуда опускается перпендикуляр на ось Oz. Там будет находиться новый аргумент x1 (Рис.1).

16

некоторой окрестности корня, включающей начальное приближение x0 , в некотором угле со сторонами, имеющими

наклон менее 4 к горизонтали (то есть стороны угла - прямые y f x* k x x* , где 0 k 1 ) (Рис. 2)

' x , то этот случай соответствует тому, что выполнено неравенство ' x 1 , при x , близких к корню x* . Проследим в этом случае за поведением последовательных приближений

x0 , x1, x2 ,... (Рис. 3)

Рис. 3. Сходящиеся к корню приближения в случае ' x 1 : два

горизонтали y x* , а при -- выше еѐ (что, в случае

последовательность монотонно возрастает и стремится к , а если , то монотонно убывает и также стремится к . Если же график функции лежит выше горизонтали при и ниже еѐ при (это

приближения ведут себя иначе: они "скачут" вокруг корня , с каждым скачком приближаясь к нему, но так же стремятся к при .

Заметим, что если функция не монотонна в окрестности точки , то последовательные приближения могут вести себя нерегулярно (то есть не монотонно и не оказываясь попеременно то левее, то правее корня, а делая скачки относительно корня при произвольных номерах

(Рис.4):

Рис 4..В случае немонотонной функции сходящиеся итерации могут вести себя нерегулярно

31. Метод простых итераций. Условия расходимости и зацикливания вычислительного процесса.

2). График расположен, по крайней мере в некоторой окрестности корня, вне некоторого угла со

сторонами, имеющими наклон более к горизонтали (то есть

стороны угла -- прямые , где )

(Рис.1)

18

Если функция имеет производную , то в этом случае при , близких к корню , выполнено неравенство

.

Каждая следующая итерация будет в этом случае

расположена дальше от корня , чем предыдущая, . При этом, в зависимости от того, пересекает ли график прямую

"снизу вверх" или "сверху вниз" (см. рис.),

могут зацикливаться. На чертеже ниже приведѐн пример зацикливания, когда уравнение имеет вид .

Рис. Пример зацикливания итераций

31.Модификация метод простых итераций. Метод секущих

-- произвольная функция. При различных способах

выбора получаются разные модификации метода итераций, которые имеют отличающиеся свойства: разную скорость сходимости (но не меньшую той, что гарантирована теоремой) и разную потребность в вычислении значений

функции или , а также их производных.

19

В качестве функции берут любую постоянную ,

окрестности (и, в частности, на отрезке, соединяющем и

). Постоянная не зависит также и от номера шага . Тогда формула итераций оказывается очень проста:

и на каждой итерации нужно один раз вычислить значение

функции .

Выясним смысл этой формулы, а также смысл условия о совпадении знаков и . Рассмотрим прямую,

проходящую через точку на графике с

угловым коэффициентом . Тогда уравнением этой прямой будет

Найдѐм точку пересечения этой прямой с осью из уравнения

самым получаем следующую геометрическую интерпретацию последовательных приближений. Начиная с точки , через соответствующие точки графика проводятся секущие с

угловым коэффициентом того же знака, что производная

. (Заметим, что, во-первых, значение производной вычислять не обязательно, достаточно лишь знать, убывает

функция или возрастает; во-вторых, что прямые, проводимые

при разных , имеют один и тот же угловой коэффициент и, следовательно, параллельны друг другу.) В качестве следующего приближения к корню берѐтся точка пересечения построенной прямой с осью .

Рис..Последовательные итерации метода секущих

Достаточное условие сходимости таково:

Это неравенство можно записать в виде

откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, вопервых,

20

так как (тем самым проясняется смысл выбора

знака числа ), а во-вторых, когда при всех на всѐм рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если

где . Таким образом, угловой коэффициент не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом

угловом коэффициенте уже на первом шаге точка может выскочить из рассматриваемой окрестности корня , и сходимость итераций к корню может быть нарушена.

32.Модификация метода секущих. Метод одной касательной

-- произвольная функция. При различных способах

выбора получаются разные модификации метода итераций, которые имеют отличающиеся свойства: разную скорость сходимости (но не меньшую той, что гарантирована теоремой) и разную потребность в вычислении значений

функции или , а также их производных.