Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Запорожский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ММ та ОМД заочн 2010_1306

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.02.2016

Размер:

356.11 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

У матричному записі це означає, що спочатку (прямий хід методу Гауса) елементарними операціями над рядками приводять розширену матрицю системи до ступінчастого виду:

éa11

a12

K a1n

é 1 α12

K α1n

β1

K α2n

β2

A = êa21

a22

K a2n

Þ ê

ú,

êK K K K Kú

êK K K K

Kú

êa

K a

ê 0

K 1

а потім (зворотний хід методу Гауса) цю ступінчасту матрицю перетворюють так, щоб у перших n стовпчиках утворилася одинична матриця:

é 1		0	K 0	x1	ù
ê	0	1	K 0	x2	ú
ê	0	1	K 0	x2	ú
ê					ú.
êK K K K				Kú
ê	0	0	K 1	x	ú
ë				n	û

Останній (n + 1) стовпчик цієї матриці містить рішення системи. У MathCAD прямий і зворотний ходи методу Гауса виконує

функція rref(A).


	rref(A)	Повертає ступінчасту форму матриці А.
	При рішенні системи лінійних рівнянь методом Гауса
рекомендується використовувати наступні функції MathCAD:
	augment(A,B,…)	Повертає	масив,	сформований
		розташуванням A і В зліва праворуч.
		Масиви A і В повинні бути скалярами та
		мати однакове число рядків.
	submatrix(A, ir, jr, ic, jc)	Повертається	субматриця,		що
		складається з всіх елементів, що
		знаходяться	в рядках з ir по jr		і
		стовпчиках з ic по jc матриці А.

Для витягу одного стовпчика використовуйте оператор верхнього індексу.

M<n>	Повертає n-ний стовпчик масиву M.

Метод ітерації

Нехай дана лінійна система (3.1). Приведемо її до матриць (3.3) та представимо у виді краткого матричного рівняння (3.2). Припускаючи, що діагональні коефіцієнти

aij ¹ 0 (i = 1, 2, …, n),

вирішимо перше рівняння системи (3.1) щодо х1, друге – щодо х2 і т. д. Тоді получимо еквівалентну систему

де βi = bi

aii

ïìx1 = β1 +α12 x2 +α13 x3 + ...+α1n xn ,
ïx2 = β2			+α	21x1 +α23 x2		+...+α2n xn		,	,	(3.6)
í									,	(3.6)
ï. . . . . . . .						+ ...+α
ïx	= β	n	+α	x +α	x	+ ...+α	n,n−1	x
î n		n		n1 1	n2 2		n,n−1	n−1
; αij	= -		aij	при i ¹ j і a ij = 0 при i = j (i, j = 1, 2, …,n).
; αij	= -			при i ¹ j і a ij = 0 при i = j (i, j = 1, 2, …,n).
			a
			ii

Ввівши матриці

êéα11

α12

K α1n úù

êéβ1 úù

α =

êα21 α22

K α2n ú

та β =

êβ2

K K K

...

K α

êα

nn û

систему (3.6) можна записати в матричній формі x = b + ax, а будь-яке (k + 1) наближення обчислити за формулою:

x(k +1) = β +α x(k ).

(3.7)

Напишемо формули наближень у розгорнутому виді:

ì (0)	= βi ,
ïxi	= βi ,
ï	n
íxi(k+1) = βi + åαi j xi(k )		(3.8)
ï	j=1
ïï(αi i = 0; i =1, K, n;k = 0, 1, 2, K).
î

Приведемо достатню умову збіжності методу ітерацій.

Теорема: Процес ітерації для приведеної лінійної системи (3.6) сходиться до єдиного її рішення, якщо будь-яка канонічна норма

матриці α менше одиниці, тобто для ітераційного процесу (3.7)

достатнєю є умова, що

<1.

(3.9)

Наслідок 1. Процес ітерації для системи (3.6) сходиться, якщо:

= max å

αi j

< 1 (m-норма або невизначена норма);

= max å

αi

< 1 (l-норма або норма L1);

αi j

< 1

(k-норма або Евклідова норма).

Наслідок 2.

i, j

Для системи (3.1) процес ітерації сходиться, якщо

виконуються нерівності:

ai i

> å'

ai j

(i = 1, 2, K, n) ,

j=1

ajj

> å'

ai j

( j =1, 2,

K, n) ,

i=1

де штрих у знака суми означає, що при підсумовуванні пропускаються значення i = j, тобто збіжність має місце, якщо модулі діагональних елементів матриці А системи (3.1) або для кожного рядка перевищують суму модулів недіагональних елементів цього рядка, або ж для кожного стовпчика перевищують суму модулів недіагональних елементів цього стовпчика.

У MathCAD існують спеціальні функції для обчислення норм матриць:

	normi(A)	Повертає невизначену норму матриці А.
	norml(A)	Повертає L1 норму матриці А.
	norme(A)	Повертає Евклідову норму матриці А.
	У якості умови закінчення ітераційного процесу можна
прийняти:			x(k +1) − x(k )
			x(k +1) − x(k )		≤ ε,
				x(k +1)

де ε - задана похибка наближеного рішення х ≈ x(k +1).

Метод Зейделя

Метод Зейделя являє собою модифікацію методу ітерацій. Основна його ідея полягає в тому, що при обчисленні (k + 1)-го наближення невідомої xi враховуються вже обчислені раніше (k + 1)-е наближення невідомих x1, x2, …, xi - 1.

Нехай отримана еквівалентна система (3.6). Виберемо довільно початкові наближення коренів x1(0) , x2(0) , K, xn(0) . Далі, припускаючи, що k-і наближення xn(k ) коренів відомі, відповідно до методу Зейделя будемо будувати (k + 1)-і наближення коренів за формулами:

x1(k+1)	= β1 +α12 x2(k ) +α13x3(k ) +...+α1n xn(k ) ,
x(k+1)	= β	2	+α	x(k+1)	+α	x(k ) +...+α	x(k )	,	(3.10)
2		2		21 1		23 2	2n n		(3.10)
. . . . . . . .
xn(k+1)	= βn +αn1x1(k+1)				+αn2 x2(k+1) +...+αnn xn(k )				(k = 0, 1, 2, K).

Зауважимо, що зазначені вище умови збіжності для простої ітерації залишається вірними для ітерації за методом Зейделя. Звичайно метод Зейделя дає кращу збіжність, чим метод простої ітерації, але призводить до більш громіздких обчислень.

3.2 Порядок виконання лабораторної роботи

Вирішити систему лінійних рівнянь за допомогою матричних операцій і функції lsolve; методом Гауса; методом простих ітерацій; методом Зейделя.

Варіанти індивідуальних завдань надані в таблиці 3.1. Ітераційними методами рішення задачі знайти з точністю

ε=10−5 . Оцінити похибку обчислень.

ВКАЗІВКА. Для виконання достатньої умови збіжності скористатися перестановкою рядків у вихідній системі рівнянь.

Таблиця 3.1 - Варіанти індивідуальних завдань

№		система рівнянь		№		система рівнянь
	4x1 + 20x2 + x3 - 24 = 0				4x1 - 5x2 + 40x3 - 19 = 0
1	16x1 + 2x2 - 2x4 + 13 = 0			9	10x1 - 4x2 + 50x4 = 0
	-4x1	+ 4x3	+ 32x4 = 0		32x1	+ 4x3 - 4x4 - 34 = 0

	2x1 + 10x3 - 7 = 0				32x2 - 9x4 + 49 = 0
	3x1 + 12x2 - x3 - 18 = 0				4x1 + 2x2 + 32x3 + 19 = 0
2	-5x1 + 2x2		+ 32x4 +15 = 0	10	2x1 + 30x2 - 4x4 - 39 = 0
	2x1 + 16x3		- 3x4 = 0		36x1	+ 4x3 - 5x4 - 40 = 0

	12x1 + 3x2 - 21 = 0				11x3 + 40x4 - 31 = 0
	2x1 + 16x2 - 3x3 - 9 = 0				9x1 + 40x2 + 2x3 - 81 = 0
3	-8x1 + x2 + x3 + x4 - 98 = 0			11	12x1 - 4x2 + 96x4 - 119 = 0
	25x1	- 2x3	- 7x4 - 5 = 0		-4x1	+ 64x3 + 8x4 + 15 = 0

	-3x2 + 20x3 + 7 = 0				36x1 + 9x4 - 7 = 0
	5x1 - 2x2 + x3 + x4 - 27 = 0				7x1 - 5x2 + 64x3 - 18 = 0
4	4x1 + 25x2 - 3x4 - 34 = 0			12	9x1 + 50x2 - 4x4 = 0
	20x1	+ 2x3	- 7x4 + 28 = 0		9x2 - 7x3 + 80x4 - 128 = 0

	-9x3 + 40x4 - 5 = 0				40x1 + 11x2 + 19 = 0
	-7x1 + 2x2 + 40x3 - 21 = 0				11x1 + 64x2 - 2x3 + 34 = 0
5	9x1 - 5x2 + 50x4 + 14 = 0			13	50x1 + 3x2 - 12x4 = 0
	25x1	+ 4x3	- x4 - 13 = 0		13x2	- 9x3 + 100x4 - 131 = 0

	32x2 + 9x4 - 21 = 0				17x1 + 80x3 - 85 = 0
	8x1 + 40x2 - 3x3 - 28 = 0				15x1 + 80x2 - 4x3 - 93 = 0
6	-7x1 + 5x2 + 50x4 = 0			14	64x1 + 7x2 - 5x4 - 131 = 0
	8x1 + 64x3		- 11x4 - 18 = 0		11x2	- 8x3 + 128x4 + 34 = 0

	32x1 + 5x4 - 12 = 0				37x2	+ 100x3 - 125 = 0
	-9x1 + 4x2		+ 64x3 - 24 = 0		17x1 + 100x2 - 9x3 = 0
7	10x1 + 50x2 - 4x4 + 5 = 0			15	80x1 - 7x2 -5x4 + 79 = 0
	-14x2 + 7x3 + 80x4 - 14 = 0				21x2	+ 128x3 - 4x4 - 139 = 0

	40x1 + 9x2 - 29 = 0				19x3	+ 256x4 + 54 = 0
	-8x1 + 64x2 + 5x3 - 37 = 0				4x1 - x2 + 20x3 - 38 = 0
8	50x1 - 13x2 + 2x4 - 38 = 0			16	18x1 + 3x2 - 2x4 + 14 = 0
	17x2	- 9x3	+ 100x4 = 0		10x2	+ x3 - x4 - 15 = 0

	-11x1 + 80x3 - 115 = 0				4x2	+ 20x4 - 29 = 0

Продовження таблиці 3.1

№	система рівнянь		№	система рівнянь
	-13x1 + 80x2 + 2x3 - 64 = 0			3x1 + 20x2 - 2x3 - 41 = 0
17	64x1 + 9x2 - 5x4 - 29 = 0		26	5x1 - 4x2 + 20x4 + 19 = 0
	12x2 - 9x3 + 128x4 = 0			5x2 + 32x3 - 3x4 - 34 = 0
	27x2 + 100x3 - 231 = 0			12x1 + 3x4 - 29 = 0
	-13x1 +100x2 +9x3 + 128 = 0			4x1 + 25x2 - x3 - 17 = 0
18	80x1 + 10x2 - 5x4 - 34 = 0		27	6x1 + 5x2 + 40x4 = 0
	-14x2 + 128x3	+ 7x4 - 95 = 0		25x1 + 3x3 + 4x4 + 34 = 0
	31x3 + 256x4	+ 69 = 0		-5x2 + 30x3 - 9 = 0
	x1 - 2x2 + 16x3 - 31 = 0			9x1 - 2x2 + 36x3 - 19 = 0
19	10x1 - x2 + x4 = 0		28	4x1 + 25x2 - 3x4 + 18 = 0
	12x2 + x3 - x4 + 28 = 0			40x1 + 5x3 - 4x4 - 44 = 0
	2x2 + 16x4 - 29 = 0			11x3 + 40x4 - 21 = 0
	2x1 + 20x2 - 3x3 - 39 = 0			9x1 - 2x2 + 40x3 - 78 = 0
20	4x1 - 2x2 + 24x4 = 0		29	11x1 - 3x2 + 50x4 + 114 = 0
	2x2 + 16x3 - x4 + 25 = 0			30x1 - 4x3 + 5x4 + 21 = 0
	12x1 + 3x4 - 18 = 0			32x2 + 8x4 - 40 = 0
	2x1 + 16x2 - x3 - 32 = 0			2x1 + 40x2 + 5x3 - 42 = 0
21	3x1 - 8x2 + 60x4 + 64 = 0		30	4x1 - 9x2 + 72x4 - 88 = 0
	4x1 + 24x3 - 3x4 = 0			4x1 + 64x3 + 8x4 - 119 = 0
	12x1 + 3x2 - 45 = 0			36x1 + 9x4 - 54 = 0
	5x1 - 2x2 + 40x3 - 39 = 0			8x1 - 3x2 + 64x3 - 131 = 0
22	4x1 + 32x2 - 6x4 = 0		31	-7x1 + 50x2 + 5x4 + 84 = 0
	7x1 + 3x3 + 32x4 - 21 = 0			12x2 - 9x3 + 80x4 - 52 = 0
	20x1 + 4x3 + 19 = 0			40x1 + 9x2 - 78 = 0
	5x1 + 30x2 - 3x3 - 17 = 0			7x1 + 64x2 - 2x3 - 111 = 0
23	-8x1 + 5x2 + 40x4 - 31 = 0		32	50x1 + 5x2 - 8x4 - 98 = 0
	24x1 + 3x3 - 4x4 - 39 = 0			18x2 + 5x3 + 112x4 -219 = 0
	7x2 + 25x3 - 8 = 0			15x1 + 80x3 + 31 = 0
	2x1 + x2 + 2x3	+ 3x4 - 8 = 0		7x1 + 64x2 - 2x3 - 111 = 0
24	3x1 + 3x3 - 6 = 0		33	50x1 + 5x2 - 8x4 - 98 = 0
	2x1 - x2 - 4x4 - 4 = 0			18x2 + 5x3 + 112x4 -219 = 0
	x1 + 2x2 - x3 + 2x4 - 4 = 0			15x1 + 80x3 + 31 = 0

Продовження таблиці 3.1

№

система рівнянь

№

система рівнянь

2x1 + x2 - 5x3 + x4 + 4 = 0

x1 + 2x2 + 3x3 +4x4 - 26 = 0

x1 - 3x2 - 6x4 + 7 = 0

2x1 + 3x2 + 4x3 + x4 - 34 = 0

2x1 -x3 + 2x4 - 2 = 0

3x1 + 4x2 + x3 + 2x4 - 26 = 0

x1 + 4x2 - 7x3 + 6x4 +2 = 0

4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 - 26 = 0

x1 + 2x2 + 3x3 +4x4 - 22 = 0

2x1 - x2 + 4x3 + x4 - 66 = 0

2x1 + 3x2 + x3 + 2x4 -17 = 0

2x2 - 6x3 + x4 + 63 = 0

x1 + 4x2 + x3

- x4 -8 = 0

8x1 - 3x2 + 6x3 -5x4 - 146 = 0

x1 - 2x3 - 3x4 -7 = 0

2x1 - 7x2 + 6x3 - x4 - 80 = 0

2x1 - 8x2 - 3x3 - 2x4 + 18 = 0

6x1 - x2 +10x3

- 4x4 - 158 = 0

x1 - 2x2 + 3x3 - 2x4 - 28 = 0

2x1 +x2 +10x3 + 7x4 - 128 = 0

x2 + x3 + 2x4 -10 = 0

3x1 - 2x2 - 2x3 - x4 -7 = 0

11x2 + x3 + 2x4 - 21 = 0

x1 - 12x2 + 2x3 - x4 - 17 = 0

9x1 + 10x2 - 7x3 - x4 -23 = 0

2x1 + 2x2 + 6x3 + x4 - 15 = 0

7x1 - x3 - 5x4 - 37 = 0

-x2 + 2x3 + x4 - 18 = 0

5x1 - 2x3

+ x4 - 22 = 0

4x1 - 3x2 + x3

- 5x4 - 37 = 0

4x1 + x2 + 2x3 + 3x4 -26 = 0

3x1 - 5x2 + x3 - x4 - 30 = 0

3.3 Приклад виконання лабораторної роботи

Рішення систем лінійних рівнянь

Нумерація елементів масивів починається з одиниці ORIGIN := 1

Дана система рівнянь

5x1 + 30x2 - 3x3 - 17 = 0

-8x1 + 5x2 + 40x4 - 31 = 0

24x1 + 3x3 - 4x4 - 39 = 0

7x2 + 25x3 - 8 = 0

Перетворимо її до матричного виду, враховуючи те, що

діагональні коефіцієнти не повинні дорівнювати нулю (ai, j ¹ 0):

матриця системи

матриця правої частини

æ 24

-4 ö

æ 39 ö

A :=

−3

0 ÷

b :=

ç 17

0 ÷

ç 8

−8

40 ø

è 31 ø

Рішення системи Ax=b за допомогою матричних операцій:

x := A− 1×b

æ 1.7775869089ö x = ç 0.2941655466÷

ç 0.237633647 ÷

ç ÷

è 1.0937466885ø

Рішення системи Ax=b, яке отримане за допомогою убудованої

функції lsolve:

x := lsolve(A , b)

æ 1.7775869089ö x = ç 0.2941655466÷

ç 0.237633647 ÷

ç ÷

è 1.0937466885ø

Перевірка правильності рішення:

		y := A×x - b
	æ	0
	ç	0
	y = ç	0
	y = ç	0
	ç	0
	ç	-3.5527136788´ 10− 15
	è	-3.5527136788´ 10− 15

Метод Гауса

Рішення системи лінійних рівнянь методом Гауса за допомогою убудованих функцій MathCAD.

Формування розширеної матриці системи: Ab := augment(A , b)

	æ 24		0	3	-4	39	ö
Ab =	ç	5	30	-3	0	17	÷
Ab =	ç	0	7	25	0	8	÷
	ç						÷
	ç						÷
	è	-8	5	0	40	31	ø

Приведення розширеної матриці системи до ступінчастого виду


(прямий і зворотний ходи метода Гауса):						Ag := rref (Ab)
æ 1		0	0	0	1.7775869089ö
Ag = ç 0		1	0	0	0.2941655466÷
ç	0	0	1	0	0.237633647		÷
ç							÷
è 0		0	0	1	1.0937466885ø

Формування стовпця рішення системи: x := Agá5ñ

æ 1.7775869089ö x = ç 0.2941655466÷

ç 0.237633647 ÷

ç ÷

è 1.0937466885ø

x := submatrix(Ag , 1, 4, 5, 5)

æ 1.7775869089ö

x = ç 0.2941655466÷

ç 0.237633647 ÷

è 1.0937466885ø

Перевірка правильності рішення: y := A×x - b

y = ç

-1.7763568394´ 10− 15 ÷

− 15

3.5527136788´ 10

Метод простої ітерації

Визначення кількості ітерацій:

k := 1.. 10

Визначення початкового наближення:

X11 := 0

X21 := 0

X31 := 0

X41 := 0

Розрахункові формули ітераційного процесу знаходження

коренів системи

é b1 - (X2k×A1, 2 + X3k×A1, 3 + X4k×A1, 4) ù

A1, 1

æ X1k+1 ö

- (X1k×A2, 1 + X3k×A2, 3 + X4k×A2, 4)

X2k+1

A2, 2

ç X3k 1

:= ê

- (X1k×A3

+ X2k×A3

+ X4k×A3

X4k 1

A3, 3

- (X1k×A4, 1 + X2k×A4,

2 + X3k×A4, 3)

A4, 4

															50
Матриця наближених рішень																	x := augment(X1, X2, X3, X4)
								1				2					3					4
							1	0							0		0					0
							2	1.625			0.56667						0.32					0.775
							3	1.71417			0.32783					0.16133					1.02917
							4	1.77636			0.29711					0.22821					1.07685
					x =		5	1.77595			0.29343					0.23681					1.09313
					x =		6	1.77759			0.29436					0.23784					1.09351
							6	1.77759			0.29436					0.23784					1.09351
							7	1.77752			0.29419					0.23758					1.09372
							8	1.77759			0.29417					0.23763					1.09373
							9	1.77759			0.29416					0.23763					1.09375
							10	1.77759			0.29417					0.23763					1.09375
							11	1.77759			0.29417					0.23763					1.09375
Метод Зейделя
æ 24		0	3		-4 ö			æ 39 ö
ç			-3			÷		ç			÷
A := ç	5	30	-3		0	÷		B := ç		17 ÷					Завдання матриці А и стовпця В
ç	0	7	25		0	÷		ç		8	÷
ç	0	7	25		0	÷		ç		8	÷
è -8		5	0		40 ø			è 31 ø
Визначення кількості ітерацій:																	k := 2.. 10
Визначення початкового наближення:
					X11 := 0					X21 := 0							X31 := 0							X41 := 0
Розрахункові формули ітераційного процесу знаходження
коренів системи
						é b1 - (X2k 1×A1								,	2 + X3k 1×A1						,	3 + X4k 1×A1							,	4)	ù
						ê				−				,			−				,		−						,		ú
						ê										A1, 1															ú
		æ X1k ö				ê b2 - (X1k×A2										A1, 1						+ X4k 1×A2						4)			ú
		æ X1k ö				ê b2 - (X1k×A2						,	1 + X3k 1×A2						,	3		+ X4k 1×A2					,	4)			ú
		ç X2		÷		ê						,					−		,			−					,				ú
		ç X2		÷		ê										A	2, 2														ú
		ç	k	÷	:= ê			b3 - (X1k×A3									2, 2									4)					ú
		ç X3k ÷			:= ê			b3 - (X1k×A3						,	1 + X2k×A3			,	2 + X4k 1×A3						,	4)					ú
		ç		÷		ê								,				,				−			,						ú
		ç		÷		ê										A3, 3															ú
		è X4k ø				ê										A3, 3															ú
						ê			b4 - (X1k×A4, 1 + X2k×A4,											2 + X3k×A4, 3)											ú
						ê			b4 - (X1k×A4, 1 + X2k×A4,											2 + X3k×A4, 3)											ú
						ê																									ú
						ë										A4, 4															û

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.20191.42 Mб3Метрологія методичні вказ. до лабор. практикуму...doc
#
07.02.2016622.11 Кб10метрология.pdf
#
07.02.2016356.35 Кб10МЕХАНІКА (для ЕЗ-212, 3 варіант).doc
#
12.09.2019494.08 Кб20Микропроцессоры.doc
#
07.02.20163.14 Mб17Михайлин І.Л. Історія української журналістики.pdf
#
07.02.2016356.11 Кб8ММ та ОМД заочн 2010_1306.pdf
#
09.11.20192.06 Mб6Многократные наблюдения.doc
#
05.09.201973.73 Кб3мова3.doc
#
24.08.2019430.59 Кб3Модель шарпа, марковице,квази-шарп.doc
#
17.11.2018199.68 Кб4Моделювання (готово).doc
#
07.02.20161.3 Mб10модуль№2.docx