4. Элементы комбинаторики.

В теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания. Если дано множество , торазмещением (сочетанием) из элементов поназывается любое упорядоченное (неупорядоченное) подмножествоэлементов множества. Приразмещение называетсяперестановкой из элементов.

Пусть, например, дано множество . Размещениями из трех элементов этого множества по два являются:,,,,,, сочетания:,,.

Два сочетания отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, а размещения отличаются либо самими элементами, либо порядком их следования. Число сочетаний из элементов повычисляется по формуле

,

где

- число размещений из элементов по, а- число перестановок изэлементов.

Пример 2. В партии из деталей имеетсястандартных. Найти вероятность того, что среди взятых наудачудеталей ровностандартных.

Решение. Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно извлечь деталей из, т.е. равно- числу сочетаний изэлементов по. Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию- средивзятых деталей ровностандартных:стандартные детали можно взять изстандартных деталейспособами; при этом остальныедетали должны быть нестандартными; взять женестандартные детали изнестандартных деталей можноспособами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно. Исходная вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех исходов:

.

5. Статистическое определение вероятности.

Формула (1.1) используется для непосредственного вычисления вероятностей событий только тогда, когда опыт сводится к схеме случаев. На практике часто классическое определение вероятности неприменимо по двум причинам: во-первых, классическое определение вероятности предполагает, что общее число случаев должно быть конечно. На самом же деле оно зачастую неограничено; во-вторых, часто невозможно представить исходы опыта в виде равновозможных и несовместных событий.

Частота появления событий при многократно повторяющихся опытах имеет тенденцию стабилизироваться около какой-то постоянной величины. Таким образом, с рассматриваемым событием можно связать некоторую постоянную величину, около которой группируются частоты и которая является характеристикой объективной связи между комплексом условий, при котором производятся опыты, и событием.

Вероятностью случайного события называется постоянное число, около которого группируются частоты этого события по мере увеличения числа испытаний.

Это определение вероятности называется статистическим.

Статистический способ определения вероятности имеет то преимущество, что он опирается на реальный эксперимент. Однако он имеет тот существенный недостаток, что для надежного определения вероятности необходимо проделать большое число опытов, которые очень часто связаны с материальными затратами. Статистическое определение вероятности события хотя и достаточно полно выявляет содержание этого понятия, но не дает возможности фактического вычисления вероятности, т. е. не является рабочим определением.