10. Paraphrase or give synonyms of the italicized words

1. It should be clear that the most striking feature of the axiomatic method is to effect a considerable economy of thought.

2. The words "formalism" and "formalistic method" are often used, but one ought to be on one's guard from the start against the confusion which may be caused by the use of these ill-defined words, and which is but too frequently made use of by opponents of the axiomatic method.

3. With each new axiomatic theory it became natural to define a notion of isomorphism; but it is only with the modern notion of structure that it has been finally recognized that every structure contains in itself a notion of isomorphism, and that it is superfluous to give a special definition for each species of structures.

4. In 1880 Cantor had the idea of iterating "transfinitely" the formation of "derived sets", but this idea did not take substance until two years later, with the introduction of well-ordered sets - one of the most original of Cantor's discoveries, thanks to which he was able to initiate a detailed study of cardinal numbers and to formulate the "problem of the continuum".

5. It was not to be expected that such bold conceptions, which ran counter to a tradition two thousand years old and led to such unlikely results of so paradoxical an appearance, should have been accepted without resistance. In fact, among the influential mathematicians in Germany, Weierstrass was the only one to follow with some favor the work of Cantor (his former pupil); but Cantor met with irreconcilable opposition of many mathematicians and above all of Kronecker.

11. Read the text and translate it into English in written form. Write its annotation and abstract in English. Reproduce them in class

Теория чисел - це область математики, що виросла з арифметики, в якій вивчаються властивості цілих, раціональних і алгебраїчних чи­сел, а також властивості будь-яких інших чисел, що випливають з наближень їх раціональними числами. В XVIII ст. вона ще була тісно пов’язана з ал­геброю,але своєрідність проблематики методів теорії чисел вже усвідомлювалась досить виразно. Накопичений запас теоретико-чис­лових фактов також сприяв виділенню теорії чисел в особливу область математики.

Ще в Стародавній Греції були виділені за принципом спільності властивостей різні підмножини цілих чисел: прості, квадратні, досконалі, полігональні, складові піфагорійські трійки і ін..Там же була розроблена струнка теорія подільності, доведена нескінченність числа простих чисел в натуральному ряді, винайдений алгоритм Евкліда. Твори Диофанта давали багато прикладів раннього і високого розвитку невизначеного аналізу.

Проте розвиток теорії чисел відбувався дуже повільно. Між новими відкриттями проходили десятиліття, а то й століття. Теоретико-числові результати досягалися в більшості видатними вченими і залишалися ізольованими. Можливими причинами цього булиь: специфічність предмета теорії чисел, зростаюча абстрактність постановці завдань цієї теорії, надзвичайна складність їх вирішення, що вимагає високого розвитку математики і неабияких особистих якостей вченого. В силу цих причин істотне збагачення теорії чисел, ії формування і відокремлення відбулися лише в XVII-XVIII bb. В цей період її проблемами займалися кілька великих учених: Декарт, Б. Паскаль, Лейбніц, Эйлер і ін.

Протягом XVII ст. найбільших результатів домігся П. Ферма, який по праву вважається засновником теорії чисел, чудові дослідження якого визначили подальший її розвиток.У його листуванні і на полях книги творів Діофанта, що належала йому, міститься велика кількість теоретико-числових результатів. Зокрема, Ферма записав там свою знамениту велику теорему: рівняння х" + у" = г" для цілих показників при п > 2 є нерозв’язуваним в цілих числах. Приписка Ферма свідчила,що він володіє воістину чудовим доказом, але на полях немає місця, щоб його записати. Однак загальний доказ цієї теореми не знайдено дотепер, хоча нею займалися численні великі математики і незліченна безліч аматорів. Своєю постановкою велика теорема, мабуть була зобов’язана прагненню Ферма узагальнити теорему про складання піфагорійських трійок цілих чисел. Те саме джерело –древньо-грецьку математику – можна з великою впевненістю назвати і для малої теореми Ферма ( якщо р просте, а ціле, не ділиться на р, то 1 (mod p ), тобто -1 ділиться на р). Першим дав доказ цієї теореми, що лежить в основі теорії порівнянь, Л. Эйлер. Ферма досліджував подільність чисел і проблему знаходження всіх дільників заданого числа. До цього ж кола питань відносяться роботи Ферма про досконалі і інші числа спеціальної структури.Велике місце в дослідженнях Ферма займає невизначений аналіз Діофанта, тобто цілочисельні рішення невизначених рівнянь та їх систем.

Після робіт Ферма, Паскаля та ін. в теорії чисел настало півстолітнє затишшя, яке майже не переривається аж до того часу, коли теорією чисел зайнявся Ейлер. З його ім'ям пов'язано становлення теорії чисел як науки. Знаходження доказів, узагальнень або спростувань теорем Ферма було першим етапом теоретико - множинних досліджень Ейлера. У подальшому він охопив. і розвинув всі основні розділи теорії чисел, як алгебраїчної, так і аналітичної, визначивши її склад і методи на багато років вперед. Роботи Ейлера визначили проблематику, структуру і методи алгебраїчної теорії чисел, тобто тієї її частини, в якій використовуються переважно методи арифметики і алгебри і не залучається по можливості апарат теорії функцій та аналізу нескінченно малих. Не менш великі заслуги Ейлера в розробці проблем діофантова аналізу (рішення невизначених рівнянь в цілих і раціональних числах), для потреб якого він розробив і строго обґрунтував теорію неперервних дробів.

Особливо важливим етапом розвитку теорії чисел було застосування до вирішення її завдань методів математичного аналізу. Ця частина теорії чисел - аналітична - бере свій початок також в працях Ейлера. Він розробив аналітичні методи для вирішення проблеми розподілу простих чисел, в ряду натуральних чисел, а також для ряду адитивних проблем. Наполегливі пошуки аналітично вираженого закону розподілу простих чисел, як відомо, не привели до успіху до сих пір.

Характер і напрямок досліджень з теорії чисел протягом майже всього XIX століття було, по суті, визначено роботами Гаусса. Відкриття Гаусса в теорії чисел величезні. Вважається загальновизнаним, що після робіт Гаусса теорія чисел розвивається вже як струнка теорія, завдання якої ведуть до розвитку нових методів аналізу (особливо теорії функцій комплексного змінного), алгебри і навіть тригонометрії. Визначилися і основні напрямки теорії чисел. Це а) розробка спеціальних методів теорії чисел, які називаються елементарними, б) аналітичні методи, що застосовуються до завдань розподілу, в) діофантови рівняння і наближення.