3.4 Особенности динамики нелинейных систем

У линейных систем устойчивость и качество переходных процессов не зависят ни от величины внешних воздействий, ни от начальных условий. В нелинейных системах процесс гораздо сложнее. В зависимости от начальных условий система может оказаться как устойчивой, так и неустойчивой. На рис. 1 между начальными условиями ,существует начальное условие, при котором процессгранично устойчив. На рисунке 2 представлены фазовые траектории для тех же процессов, что и на рисунке 1.

Рисунок 3.4.1

Рисунок 3.4.2

Замкнутая траектория 1 на рис. 2 называется предельным циклом.

Возможен и другой случай, представленный на рис. 3, когда при больших начальных условиях колебания уменьшаются, а при малых – система неустойчива (колебания возрастают). На рис. 4 изображены фазовые траектории для тех же процессов, что и на рис. 3. Процессы 2 и 3 стремятся к предельному циклу 1.

Рисунок 3.4.3 – Устойчивый предельный цикл (автоколебания)

Рисунок 3.4.4 – Фазовые портреты процессов, показанных на рис. 3

На рисунках 2 и 4 между траекториями 2 и 3 существуют замкнутые траектории 1, которые называются предельными циклами.

Предельные циклы могут быть устойчивыми, неустойчивыми и полуустойчивыми. Если все фазовые траектории приближаются к предельному циклу как изнутри, так и снаружи, то такой предельный цикл называется устойчивым (рис. 4). В этом случае в системе возникают автоколебания.

Если все фазовые траектории отходят от предельного цикла как снаружи, так и изнутри его, то такой предельный цикл называется неустойчивым (рис. 2).

Если фазовые траектории с одной стороны отходят от предельного цикла, а с другой стороны подходят к нему, то такой предельный цикл называется полуустойчивым. Колебания в системе, соответствующие устойчивому предельному циклу, называются автоколебаниями.

Следует обратить внимание на то, что автоколебания поддерживаются самой системой, даже без внешних воздействий.

На рисунке 2 траектория 1 соответствует асимптотической устойчивости начала координат «0».

Асимптотическая устойчивость будет иметь место только в том случае, когда начальные условия взяты в ограниченной окрестности начала координат, если же начальные условия выбрать вне этой окрестности, то начало координат «0» окажется неустойчивым.

В связи с этим в нелинейных системах различают асимптотическую устойчивость в малом, в большом и в целом (глобальная асимптотическая устойчивость).

Если асимптотическая устойчивость начала координат имеет место при бесконечно малых отклонениях от начала координат, то будет асимптотическая устойчивость в малом.

Если асимптотическая устойчивость будет иметь место при конечных отклонениях от начала координат, то будет асимптотическая устойчивость в большом.

Если асимптотическая устойчивость будет иметь место при любых начальных отклонениях от начала координат, то говорят, что начало координат является асимптотически устойчивым в целом.

Асимптотически устойчивая линейная система всегда является асимптотически устойчивой в целом или глобально асимптотически устойчивой.

Практической устойчивостью начала координат называется такая ситуация, когда начало координат является неустойчивым в малом, а предельный цикл, содержащий начало координат, является устойчивым по отношению к наружным траекториям, причём величина предельного цикла позволяет системе успешно функционировать.