- •Основы теории автоматического управления
- •Содержание
- •Предисловие
- •Введение
- •0 Общие сведения о системах управления
- •Принцип действия и функциональная схема сау.
- •0.1 Классификация сау
- •0.1.1 Классификация сау по принципу действия
- •0.1.2 Классификация сау по характеру изменения выходной переменной
- •0.1.3 Классификация сау по математическому описанию
- •1 Линейные системы управления
- •1.1 Линеаризация нелинейных уравнений
- •1.2 Две формы записи линейных дифференциальных уравнений
- •1.3 Классификация динамических звеньев
- •1.4 Динамические характеристики звеньев
- •1.4.1 Временные динамические характеристики
- •1.4.2 Частотные динамические характеристики
- •1.5 Типы соединения звеньев в сау
- •1.5.1 Последовательное соединение звеньев
- •1.5.2 Параллельное соединение звеньев
- •1.5.3 Встречно-параллельное соединение звеньев
- •1.6 Основные правила преобразования структурных схем
- •1.7 Передаточные функции замкнутых сау
- •1.8 Устойчивость движения непрерывных линейных сау
- •1.8.1 Корневые критерии устойчивости
- •1.8.2 Коэффициентные (алгебраические) критерии устойчивости
- •1.8.2.1 Критерий о необходимых условиях устойчивости
- •1.8.2.2 Критерий Рауса-Гурвица
- •1.8.3 Частотные критерии устойчивости
- •1.8.3.1 Критерий Михайлова
- •1.8.3.2 Критерий Найквиста
- •1.8.3.3 Применение критерия Найквиста к системам с чистым запаздыванием
- •1.8.3.4 Логарифмический критерий Найквиста
- •1.8.4 Построение областей устойчивости сау
- •1.9 Оценка качества регулирования
- •1.9.1 Показатели точности сау
- •1.9.1.1 Типовые регуляторы
- •1.9.1.2 Определение показателей точности сау
- •1.9.2 Определение показателей качества по переходным процессам
- •1.9.3 Определение показателей качества по корням характеристического уравнения
- •1.9.4 Интегральные показатели качества
- •1.9.5 Частотные показатели качества
- •1.10 Методы повышения точности сау
- •1.10.1 Повышение точности за счёт увеличения коэффициента передачи разомкнутой цепи
- •1.10.2 Повышение точности за счёт увеличения степени астатизма
- •1.10.3 Повышение точности за счёт введения в закон управления производной от ошибки или гибкой обратной связи
- •1.10.5 Повышение точности за счет применения неединичных ос
- •2 Цифровые системы управления
- •2.1 Функциональная схема сау и её циклограмма работы
- •2.2 Аналого-цифровые и цифро-аналоговые преобразователи
- •2.3 Понятие о решётчатых функциях и разностных уравнениях
- •2.4 Z-преобразование (дискретное преобразование Лапласа)
- •2.5 Решение линейных разностных уравнений
- •2.6 Передаточные функции цифровых систем управления
- •2.7 Вычисление дискретной передаточной функции звена или группы звеньев по непрерывной передаточной функции
- •2.8 Системы с экстраполятором нулевого порядка
- •2.9 Передаточные функции замкнутых цифровых сау
- •2.10 Передаточные функции срп (регулятора). Формула Тастина
- •2.11 Частотные характеристики цифровых систем
- •2.12 Теорема Котельникова
- •2.13 Устойчивость движения цифровых сау
- •2.14 Порядок синтеза цифровых систем управления
- •3 Нелинейные системы автоматического управления
- •3.1 Основные нелинейные звенья
- •3.2 Структурные преобразования нелинейных сау
- •Статические характеристики нелинейных систем.
- •3.3 Понятие о фазовом пространстве и фазовых траекториях
- •3.4 Особенности динамики нелинейных систем
- •3.5 Исследование устойчивости методами Ляпунова
- •3.5.1 Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости
- •3.5.2 Теорема Барбашина-Красовского
- •3.6 Исследование устойчивости методом фазовой плоскости
- •3.7 Критерий абсолютной устойчивости в.М. Пóпова
- •3.8 Гармоническая линеаризация
- •Идея гармонической линеаризации
- •Методика исследования предельных циклов с помощью метода гармбаланса
- •4 Элементы современной теории управления
- •4.1 Модальное управление
- •4.2 Запись дифференциальных уравнений в пространстве состояний
- •4.3 Описание работы двигателя постоянного тока (дпт) независимого возбуждения (нв) в пространстве состояний
- •4.4 Модальное управление в пространстве состояний
- •4.5 Динамические фильтры
- •4.6 Система управления с динамическими фильтрами
- •4.7 Редуцированные наблюдатели
- •4.8 Наблюдение объектов, подверженных действию возмущений и погрешностей датчиков (оценка внешних возмущений и погрешностей датчиков)
- •4.9 Использование наблюдателей для построения робастных систем управления
- •4.10 Асимптотическое дифференцирование с помощью наблюдателей
- •4.11 Заключение раздела 4
- •Литература
- •Приложение а Свойства комплексных функций
1.8.2 Коэффициентные (алгебраические) критерии устойчивости
Как следует из предыдущего пункта, устойчивость или неустойчивость системы зависит от корней характеристического уравнения, в свою очередь, корни зависят от коэффициентов характеристического уравнения, поэтому естественно желание найти критерии устойчивости без расчёта корней, рассматривая непосредственно коэффициенты характеристического уравнения.
Среди большого количества коэффициентных критериев устойчивости будем рассматривать два:
1) критерий о необходимых условиях устойчивости;
2) критерий Рауса-Гурвица.
1.8.2.1 Критерий о необходимых условиях устойчивости
Для того чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были одного знака и отличались от нуля.
Пример. Дано уравнение
.
Это дифференциальное уравнение допускает частное стационарное решение
.
Задача: будет ли частное (вынужденное) решение асимптотически устойчивым?
Ответ: решение не будет асимптотически устойчиво, т.к. один коэффициент характеристического уравнения равен нулю.
1.8.2.2 Критерий Рауса-Гурвица
Пусть дано характеристическое уравнение
. (1.8.2.1)
Составим для него определитель Гурвица размера (n х n)
. (1.8.2.2)
Следует обратить внимание на то, что в первой строке расположены нечетные коэффициенты, во второй – четные, а на главной диагонали расположены коэффициенты .
В соответствии с критерием Рауса-Гурвица главные диагональные миноры должны быть положительными, то есть
(1.8.2.3)
Критерий Рауса-Гурвица читается так.
Для того чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при все главные диагональные миноры (3) определителя Гурвица (2) были положительны.
Из соотношений следует.
Для систем первого и второго порядков критерий Рауса-Гурвица сводится к условиям критерия о необходимых условиях устойчивости, т.е. для этих систем необходимым и достаточным условием асимптотической устойчивости является однознаковость всех коэффициентов характеристического уравнения; если имеются коэффициенты с противоположными знаками или нулевые, то система будет неустойчивая.
Рассмотрим критерий Раусса-Гурвица для системы третьего порядка с характеристическим уравнением
.
Определитель Гурвица и критерий Рауса-Гурвица имеют вид
1.8.3 Частотные критерии устойчивости
Будем рассматривать следующие критерии:
критерий Михайлова;
критерий Найквиста;
логарифмический критерий Найквиста.
1.8.3.1 Критерий Михайлова
Для его применения необходимо иметь характеристический полином
. (1.8.3.1)
Подставим в (1) вместо , где;– частота, которая меняется в диапазоне от 0 до ∞. В результате получим комплексный полином
, (1.8.3.2)
где – действительная часть, а – коэффициент при мнимой части.
, (1.8.3.3)
,
или
. (1.8.3.4)
Критерий Михайлова является графическим критерием. Для его применения на комплексной плоскости строится годограф (траектория конца вектора) Михайлова. На рис. 6 показаны годографы Михайлова для систем различных порядков n, соответствующие асимптотической устойчивости систем.
Для того чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы при изменении частоты от 0 до ∞ годограф Михайлова охватывал начало координат, проходя последовательно столько квадрантов против часовой стрелки, каков порядок системы (рисунок 6).
Если годограф Михайлова будет проходить через начало координат, то система будет находиться на границе устойчивости (рисунок 7).
Если годограф Михайлова не охватывает начало координат, то САУ будет неустойчивой (рисунок 8).
Из критерия Михайлова вытекает критерий Эрмита-Билера. Как следует из рисунка 6, при асимптотической устойчивости корни полиномов чередуются.
Рисунок 1.8.6 – Годографы Михайлова для устойчивых систем различных порядков
Рисунок 1.8.7
Рисунок 1.8.8
Критерий Эрмита-Билера. Для того чтобы система была асимптотически устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы корни полиномов (3) и (4) были действительными положительными и чередовались между собой, начиная с корня для полинома (4).