3.2 Структурные преобразования нелинейных сау

Нелинейности существенно усложняют исследования САУ. Нельзя переносить звено со входа нелинейного звена на его выход и обратно. Однако если на входе или на выходе нелинейного звена имеются линейные цепи, то в пределах этих цепей можно осуществлять преобразования по правилам линейных цепей.

Статические характеристики нелинейных систем.

Последовательное соединение звеньев.

Рассмотрим три последовательно соединенных звена (рис. 1).

Рисунок 3.2.1 – Последовательное соединение нелинейных звеньев

Задача: зная статические характеристики отдельных звеньев, определить статическую характеристику всей цепи. На рис. 2 изображены статические характеристики трёх звеньев, представленных на рис. 1, и последовательность нахождения выходного сигнала по входному сигналу.

Рисунок 3.2.2 – Получение суммарной статической характеристики

Пример. Найти статическую характеристику цепи (рис. 3).

Рисунок 3.2.3 – а) статические характеристики звеньев, б) результирующая статическая характеристика цепи

Параллельное соединение звеньев.

Задача: по статическим характеристикам отдельных звеньев найти эквивалентную статическую характеристику всей цепи (рис. 4).

Рисунок 3.2.4 – а) параллельное соединение нелинейных звеньев, б) последовательность получения результирующей статической характеристики

Пример. Найти статическую характеристику цепи. На рис. 5а дано параллельное соединение двух звеньев, на рис. 5б – эквивалентное звено и его статическая характеристика.

Рисунок 3.2.5 – а) параллельное соединение звеньев и их статические характеристики, б) эквивалентная статическая характеристика одного звена

Встречно-параллельное соединение звеньев (рис. 6).

Рисунок 3.2.6 – Встречно-параллельное соединение нелинейных звеньев

, (3.2.1)

Порядок построения эквивалентной схемы:

1. Задается значение .

2. По статической характеристике звена 1 находим .

3. По статической характеристике звена 2 находим .

4. По зависимости (1) находим .

5. Поскольку иизвестны, то можно определить всю статическую характеристику.

3.3 Понятие о фазовом пространстве и фазовых траекториях

Состояние САУ определяется рядом координат. Например, систему

, (3.3.1)

где ,,,– коэффициенты, можно определить координатами

,,. (3.3.2)

Систему уравнений

(3.3.3)

можно определить координатами

. (3.3.4)

Минимальное количество координат, полностью определяющих состояние системы, равно порядку системы. Вектор (матрица-столбец или матрица-строка), составленный из координат системы, полностью определяющих её состояние, называется вектором состояния системы.

Например, для системы (1) вектор состояния , для системы (3) вектор состояния.

При рассмотрении САУ широко используется понятие фазовых пространств.

Фазовое пространство – это пространство в прямоугольной системе координат, осями которой являются элементы вектора состояния.

Для системы второго порядка это фазовая плоскость. Для системы третьего порядка это трёхмерное фазовое пространство и т.д. Состоянию системы в каждый момент времени соответствует определённая точка в фазовом пространстве. Эта точка называется изображающей точкой. При изменении состояния системы изображающая точка перемещается, описывая траекторию, которая называется фазовой траекторией. Для временной привязки процесса в отдельных точках фазовой траектории проставляется время, которому эта точка соответствует.

Рассмотрим построение фазовых траекторий системы второго порядка

,

где – постоянная времени,– параметр затухания. При 1)система гранично устойчива, 2)система асимптотически устойчива, 3)система неустойчива. На рис. 1а представлены процессы изменения координаты (переменной), на рис. 1б – скоростиизменения координатыдля трёх указанных случаев, на рис. 1в – фазовый портрет, построенный по указанным переменным.

Для построения фазовых траекторий, соответствующих трём переходным процессам, представленным на рис. 1, надо для ряда моментов времени по рис. 1а, 1б определить значения ,и для каждого момента на рис. 1в построить точку. Соединив эти точки, получим соответствующиефазовые траектории. На рис. 1в стрелками показаны направления движения изображающих точек. Направление движения изображающей точки можно определить непосредственно по рис. 1в следующим образом. В верхней (нижней) полуплоскости , где– скорость изменения. Прибудет возрастать (уменьшаться). Это означает, что при данном на рис. 1в расположении осей фазовые траектории будут развиваться по часовой стрелке. Следует заметить, что, если поменять осииместами, изображающая точка будет двигаться

Рисунок 3.3.1

против часовой стрелки. Как видно на рис. 1в, при асимптотической устойчивости (неустойчивости) изображающая точка будет стремиться к нулю (от нуля). При граничной устойчивости фазовая траектория будет замкнутой кривой 1. При колебательных процессах фазовые траектории имеют вид спиралей.