Optika_otvety

Точне порівняння швидкості світла у воді та в повітрі, здійснене А. Майкельсоном, показало, що швидкість у воді в 1,33 раза менша, ніж у повітрі. Цей результат добре узгоджується з експериментальними даними про заломлення світла і з хвильовою теорією заломлення. Проте вимірювання швидкості світла, виконані А. Майкельсоном методом обертового дзеркала, дали для

відношення швидкості світла у вакуумі с до швидкості світла в сірковуглеці значення , тоді як це саме відношення, визначене за показником заломлення, дорівнює 1,64. Цей факт дуже важливий. Пояснив виявлену суперечність англійський фізик Дж. Релей (1842—1919). Він довів, що при вимірюваннях швидкості світла методом Фуко та іншими методами визначається так звана групова швидкість світлових хвиль, тоді як за показником заломлення визначається їхня фазова швидкість.

37. Фазова й групова швидкості світла

Під фазовою швидкістю розуміють швидкість поширення фази ідеально монохроматичної хвилі, тобто синусоїдальної хвилі, безмежної в просторі і в часі. Будь-яка інша хвиля не є монохроматичною. Ідеально монохроматичну хвилю здійснити не можна. Насправді ми завжди маємо справу з більш або менш складним імпульсом, що обмежений у просторі та часі. Спостерігаючи такий імпульс, можна відшукати властиву йому точку, переміщення якої характеризуватиме поширення імпульсу. Такою точкою може бути точка максимальної напруженості електричного або магнітного полів, що складають електромагнітний імпульс. Спостереження за обраною точкою дає змогу зробити висновок про поширення імпульсу лише тоді, коли форма імпульсу при цьому зберігається або змінюється дуже повільно. Будь-який імпульс можна подати як суму великої кількості близьких за частотою монохроматичних хвиль. Якщо всі ці монохроматичні хвилі поширюються з однаковою фазовою швидкістю (в середовищі немає дисперсії), то з такою самою швидкістю переміщується і сам імпульс як ціле, зберігаючи свою форму незмінною. Проте для всіх середовищ, крім вакууму, характерна дисперсія, і, отже, монохроматичні хвилі різної довжини поширюються в них з різними фазовими швидкостями. Це призводить до деформації імпульсу, і питання про швидкість поширення імпульсу ускладнюється. Коли дисперсія незначна, імпульс деформується повільно, і можна спостерігати за місцем максимального зміщення. Однак при цьому швидкість переміщення імпульсу відрізнятиметься від фазових швидкостей складових його монохроматичних хвиль. За пропозицією Дж. Релея швидкість переміщення імпульсу (груп хвиль) називають груповою швидкістю. Групова швидкість є швидкістю переміщення амплітуди, а отже, і енергії, яку переносить рухомий імпульс.

Між груповою швидкістю і фазовою швидкістю , яка визначається відношенням ( — довжина хвилі, Т — період коливань), існує такий зв'язок:

(14.1)

нормальна дисперсія. Тоді , тобто групова швидкість и менша від фазової швидкості . Коли

за фазову. В усіх випадках вимірювання швидкості світла мають справу з переривчастими сигналами

скінченної тривалості і, отже, визначають групову швидкість. Для вакууму , тобто дисперсії

немає, а групова і фазова швидкості однакові. Для речовини з і

У дослідах А. Майкельсона для води і сірковуглецю вимірювалось відношення групових

38. ПОДОЛАННЯ СУПЕРЕЧНОСТЕЙ ТЕОРІЇ „НЕРУХОМОГО ЕФІРУ”

Як відомо, поряд з розкриттям хвильових властивостей світла формувалась і утверджувалась теорія про хвильову природу світла Гюйгенса-Френеля. В науці в той час панували механістичні погляди на природу , тому, за аналогією з хвилями у пружному середовищі, під світлом розуміли поширення хвиль в особливому середовищі – ефірі. Ефір довелося наділяти надзвичайними і протирічними властивостями: З одного боку – він повинен мати надзвичайно малу густину, оскільки не було виявлено ніякого опору рухомим небесним тілам. З іншого боку – він мав бути нестиcлим і проявляти лише пружні властивості в деформаціях зсуву, оскільки світлова хвиля поперечна (останнє безсумнівно доводиться дослідами з поляризації світла). Крім того, оскільки світло проходить через

прозорі тіла (повітря, скло, воду, тощо), необхідно припускати, що ефір наповнює не тільки

міжзоряний простір, а усі прозорі тіла. Таким уявлявся ефір у хвильовій теорії світла ГюйгенсаФренеля. З появою та становлення електромагнітної теорії світла Максвелла сам факт існування ефіру не піддавався сумніву, але його наділяли зовсім іншими властивостями. Під ефіром розуміли середовище, в якому поширюються електромагнітні хвилі. Властивості ефіру визначалися рівняннями Максвелла. З уявленнями про існування ефіру поставало завдання експериментально вивчити його властивості і характер взаємодії з речовиною та світлом. Якщо вважати, що Земля рухається відносно нерухомого ефіру, в якому поширюються світлові хвилі, то слід чекати впливу цього руху на результати спостережень за розповсюдженням світла. Майкельсон за допомогою винайденого ним інтерферометра зробив спробу виявити абсолютний рух Землі відносно ефіру, вимірюючи швидкість поширення світла у двох взаємно перпендикулярних напрямах. Досліди Майкельсона беззаперечно

довели, що при швидкості руху Землі по орбіті 30 км/с, рух Землі відносно ефіру якщо і є, то він

менше 1/30 орбітальної швидкості Землі, тобто менше 1 км/с. Негативний результат дослідів Майкельсона поставив фізиків у скрутне становище, оскільки суперечив теорії нерухомого ефіру. Перший крок на шляху до правильного розв’язання суперечностей, що виявилися з негативним результатом досліду Майкельсона, зробив Лоренц. Він розробив теорію оптичних явищ рухомих

тіл. При цьому він припустив, що що рухомі тіла стискаються у напрямі руху, причому саме так, що

дослід Майкельсона повинен дати негативний результат.

39. Рассмотрим две инерциальные системы отсчета k и k'. Система k' движется относительно k со скоростью v = const вдоль оси x. Точка М движется в двух системах отсчета (рис. 8.1).

Рис. 8.1

Найдем связь между координатами точки M в обеих системах отсчета. Отсчет начнем, когда начала координат систем совпадают, то есть t = t'. Тогда:

(8.1.1) Совокупность уравнений (8.1.1) называется преобразованиями Галилея.

В уравнениях (8.1.1) время t = t', т.е. в классической механике предполагалось, что время течет одинаково в обеих системах отсчета независимо от скорости. («Существует абсолютное время, которое течет всегда одинаково и равномерно», – говорил Ньютон). В векторной форме преобразования Галилея можно записать так:

(8.1.2)

Продифференцируем это выражение по времени, получим (рис. 8.2):

Рис. 8.2

Выражение (8.1.3) определяет закон сложения скоростей в классической механике. Из него следует, что скорость движения точки М (сигнала) в системе k' и в системе k различна.

Законы природы, определяющие изменение состояния движения механических систем, не зависят от того, к какой из двух инерциальных систем отсчета они относятся. Это и есть

принцип относительности Галилея.

Из преобразований Галилея и принципа относительности следует, что взаимодействия в классической физике должны передаваться с бесконечно большой скоростью c = ∞, т. к. в противном случае можно было бы одну инерциальную систему отсчета отличить от другой по характеру протекания в них физических процессов.

40. Розвиваючи свою гіпотезу, X. Лоренц показав, що для подолання суперечностей, які

виникли при поясненні досліду Майкельсона та інших, треба ввести нові рівняння для перетворення

координат при переході від системи координат, що перебуває в стані спокою, до системи

координат, яка рухається рівномірно і прямолінійно відносно першої. До цього фізики

користувались перетвореннями координат Галілея, із яких випливає, що в усіх системах відліку, які

рухаються рівномірно і прямолінійно одна відносно одної, час проходить однаково, а тіла

зберігають свої розміри сталими.

Якщо система К1 рухається відносно системи К зі швидкістю v0, то:

z1= z

y1 = y

x1 = x - v0* t

t1 = t

Лоренц запропонував свої перетворення координат.

Розглянемо дві системи відліку К і К' (рис. 14.5), просторові координати яких є

прямокутними, декартовими. Позначимо їх відповідно через х, у, z і х', у', z'.

Рис. 14.5

Нехай система відліку К' рухається відносно

системи К прямолінійно і рівномірно вздовж

координати х зі швидкістю v. Координатні осі х і

х' збігаються за напрямом, осі у, z і у', z' відповідно

паралельні. У момент часу t = t' = 0 початок

координат в обох системах відліку збігається. Лоренц користувався не тривимірним, а чотири

вимірним простором Мінковського.

Просторових координат три, четверта — часова, що якісно відрізняється від просторових. Об'єднання чотирьох координат події в один комплекс зовсім не означає прагнення стерти будь-яку відмінність між простором і часом. У просторі, наприклад, можна рухатись назад і вперед, але жодна теорія, в тому числі й теорія відносності, не дає можливості побудувати «машину часу», на якій можна було б відправитися в минуле.

Виявляється, що за цих умов координати тієї самої події в обох системах пов'язані такими

формулами: ; ; ; '. (14.9) Ці формули дають

змогу визначити координати х', у', z', t' деякої події в системі К', якщо відомі її координати в системі

К. Зворотний перехід від системи К до системи К' визначають такими формулами:

Формули (14.9) і (14.10) називають перетвореннями Лоренца, оскільки їх вперше вивів Лоренц. До речі, відомі рівняння Максвелла, не інваріантні перетворенням Галілея, виявилися інваріантними перетворенням Лоренца. Розглядаючи ці формули, насамперед помічаємо, що координати у, z не змінюються; це відповідає відсутності поперечного лоренцового скорочення. Формули перетворень симетричні, лише швидкість замінена на –. Це, звичайно, відповідає рівноправності всіх систем відліку. Основним є те, що змінюється не лише просторова координата х, а й час t. Це свідчить про відносність не тільки просторових координат, а й часу. Як зазначалося в ньютонівській механіці, час не змінювався при переході від однієї системи координат до іншої: t = t'. Неважко помітити, що коли швидкість відносного руху систем відліку мала порівняно зі швидкістю світла с, перетворення Лоренца переходять у перетворення Галілея. Це означає, що релятивістська механіка не відкидає класичну, яка є граничним випадком релятивістської механіки, коли .

Висновки з перетворень Лоренца Слід зазначити, що у формули перетворень Лоренца (14.9) і (14.10) входять не довжини відрізків і не проміжки часу, а координати окремих подій. Наприклад, час t відлічується за годинником, який перебуває в стані спокою в системі К, а час t' — за годинником, що не рухається в системі К'. Із перетворень Лоренца випливає чимало незвичайних з погляду класичної механіки висновків.

1. Відносність одночасності. У класичній фізиці проміжок часу між будь-якими двома подіями не залежить від системи відліку. Це знайшло своє відображення у перетвореннях Галілея

для часу: t = t'. Тоді проміжок часу де ti і ti’ — моменти часу, що

відповідають здійсненню першої (t1 і t1’ ) і другої (t2 і t'2) подій, виміряних відповідно в нерухомій

). Отже, виходячи з перетворень Галілея, одночасність абсолютна. З перетворень Лоренца

випливає відносність одночасності: події, одночасні в одній інерціальній системі відліку, не обов'язково є одночасними в інших інерціальних системах, які рухаються відносно першої прямолінійно і рівномірно. Справді, нехай у системі К дві події сталися в момент часу t1 і t2, а

місце їх визначається координатами х1 і х2. У системі К' цим подіям відповідатимуть моменти часу t1’ і t2’ і координати х1’ і х2’ . Припустімо, що в системі К події відбуваються одночасно, тобто t1 =

t2= t. Тоді, виходячи з перетворень Лоренца (14.9), можна записати

(14.11)Із формул (14.11) випливає, що коли одночасні події в системі К відбуваються в одній точці простору (х1 = х2), вони збігатимуться в просторі ( ) і часі ( ) і в системі К’ а також у будь-якій іншій інерціальній системі, яка рухається відносно системи К. Проте якщо одночасні події в системі К просторово розділені ( ), то в системі К' вони неодночасні ( ) і просторово розділені ( ).

2.Сповільнення часу. Розглянемо процес, що відбувається в точці з координатою х/

нерухомій відносно системи К'. Позначимо тривалість цієї події за годинником системи К' через , причому , де індекси 1 і 2 відповідають початку і кінцю процесу. Визначимо тривалість події у системі К. Відповідно до формул перетворення Лоренца (14.10) можна

Отже, тривалість події, що відбувається в певній точці, мінімальна в тій інерціальній системі відліку, відносно якої ця точка є нерухомою. Одержаний результат можна сформулювати інакше, а саме: годинник, який рухається відносно інерціальної системи відліку, йде повільніше від годинника, що перебуває у стані спокою. Тому плинність часу в рухомій системі повільніша, ніж у нерухомій. Із співвідношення (14.12) видно, що сповільнення ходу годинника стає істотним лише при швидкостях

, що наближаються до швидкості світла у вакуумі. Релятивістський ефект сповільнення плинності

часу блискуче підтвердився в дослідах з -мезонами — нестабільними елементарними частинками, що входять до складу космічного випромінювання. Середній час життя нерухомого -мезона становить близько 2 • 10–6 с. Здавалося б, що, рухаючись навіть зі швидкістю світла, -мезони можуть пройти шлях близько 600 м. Проте, як свідчать спостереження, -мезони виникають у космічному випромінюванні на висоті 20...З0 км і багато з них досягає поверхні Землі. Це пояснюється тим, що 2 • 10–6 с — власний час життя -мезона — час, виміряний за годинником, який би рухався разом з ним. Час, відрахований за годинником експериментатора на Землі, відповідно до співвідношення (14.12), набагато більший.

3.Формула лоренцового скорочення. Розглянемо стрижень, розташований уздовж осі

х, який перебуває в стані спокою відносно системи К'. Тоді відносно системи К цей стрижень рухатиметься зі швидкістю . Порівняємо довжини стрижня у системах К і К'. У системі К',

відносно якої стрижень перебуває у стані спокою, визначення довжини стрижня зводиться до визначення координат х'1 і х'2 його кінців. Довжиною стрижня у системі К' є

У системі К, відносно якої стрижень рухається, справа ускладнюється тим, що треба визначити одночасно координати кінців стрижня х1 і х2. Тоді . Відповідно до формул

(14.13)

Отже, в системі К, відносно якої стрижень рухається, довжина його менша, ніж у системі

К', відносно якої стрижень перебуває в стані спокою. Співвідношення (14.13) називають

формулою лоренцового скорочення. Слід зауважити, що формули перетворень Лоренца втрачають свій зміст, коли = c, оскільки тоді в знаменнику з'являються нулі, а ділення на нуль, як відомо, неможливе. Це означає, що ніякі дві системи відліку не можуть мати відносну швидкість, яка дорівнювала б швидкості світла. Цей результат випливає також із формули лоренцового скорочення: тіло, що рухалося б зі швидкістю світла, мало б поздовжні розміри, які дорівнювали б нулю.

4. Закон додавання швидкостей. У класичній механіці, як відомо, швидкість тіла просто додається до швидкості системи відліку. Розглянемо це питання в релятивістській механіці й обмежимося одновимірним випадком. Нехай у двох системах відліку К і К' вивчається рух тіла, яке переміщується прямолінійно і рівномірно паралельно осям х і х/ обох систем відліку (див. рис. 14.5). Нехай швидкість тіла, визначена в системі К, є и, а швидкість того самого тіла, визначена в системі К', — и'. Швидкість системи К' відносно системи К позначимо через . Унаслідок руху тіла його координати в системах К і К' змінюються. Початкове положення тіла в системі К

Одним из важнейших свойств лазерного излучения является чрезвычайно высокая степень его монохроматичности, недостижимая в излучении нелазерных источников. Это и все другие уникальные свойства лазерного излучения возникают в результате согласованного, кооперативного испускания световых квантов многими атомами рабочего вещества.

Чтобы понять принцип работы лазера, нужно более внимательно изучить процессы поглощения и излучения атомами квантов света. Атом может находиться в различных энергетических состояниях с энергиями E1, E2 и т. д. В теории Бора эти состояния называются стабильными. На самом деле стабильным состоянием, в котором атом в отсутствие внешних возмущений может находиться бесконечно долго, является только состояние с наименьшей энергией. Это состояние называют основным. Все другие состояния нестабильны. Возбужденный атом может пребывать в этих состояниях лишь очень короткое время, порядка 10–8 с, после этого он самопроизвольно переходит в одно из низших состояний, испуская квант света, частоту которого можно определить из второго постулата Бора. Излучение, испускаемое при самопроизвольном переходе атома из одного состояния в другое, называют спонтанным. На некоторых энергетических уровнях атом может пребывать значительно большее время, порядка 10–3 с. Такие уровни называются метастабильными.

Переход атома в более высокое энергетическое состояние может происходить при резонансном поглощении фотона, энергия которого равна разности энергий атома в конечном и начальном состояниях.

Переходы между энергетическими уровнями атома не обязательно связаны с поглощением или испусканием фотонов. Атом может приобрести или отдать часть своей энергии и перейти в другое квантовое состояние в результате взаимодействия с другими атомами или столкновений с электронами. Такие переходы называются безизлучательными.

Теперь самое главное. В 1916 году А. Эйнштейн предсказал, что переход электрона в атоме с верхнего энергетического уровня на нижний может происходить под влиянием внешнего электромагнитного поля, частота которого равна собственной частоте перехода. Возникающее при этом излучение называют вынужденным илииндуцированным. Вынужденное излучение обладает удивительным свойством. Оно резко отличается от спонтанного излучения. В результате взаимодействия возбужденного атома с фотоном атом испускает еще один фотон той же самой частоты, распространяющийся в том же направлении. На языке волновой теории это означает, что атом излучает электромагнитную волну, у которой частота, фаза, поляризация и направление распространения точно такие же, как и у первоначальной волны. В результате вынужденного испускания фотонов амплитуда волны, распространяющейся в среде, возрастает. С точки зрения квантовой теории, в результате взаимодействия возбужденного атома с фотоном, частота которого равна частоте перехода, появляются два совершенно одинаковых фотона-близнеца.

Именно индуцированное излучение является физической основой работы лазеров.

На рис. 6.4.1 схематически представлены возможные механизмы переходов между двумя энергетическими состояниями атома с поглощением или испусканием кванта света.