Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте постановку задачі інтерполяції.

2. Наведіть умови інтерполяції.

3. Наведіть формулу для оцінки похибки.

4. Дайте геометричну інтерпретацію процесу інтерполяції.

Завдання до лабораторної роботи № 1

У лабораторній роботі потрібно за заданою таблицею значень функції приблизно обчислити значення цієї функції в заданій точціза допомогою інтерполяційного многочлена Лагранжа.

Таблиця варіантів

Шифр по вер-тикалі	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	-9,9	-8,1	-9,2	-8,7	-7,4	-9,5	-7,7	-8,4	-9,3	-8,8
	6,033	3,325	4,810	4,074	2,611	5,305	2,900	3,682	4,970	4,213

Коор-динати	Шифр по горизонталі
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	-0,9	0,0	0,5	-0,8	0,7	0,1	0,3	-0,4	-1,1	-0,2
	0,895	1,035	1,131	0,908	1,172	1,053	1,090	0,967	0,871	1,000
	4,0	3,5	2,8	3,9	2,3	3,4	2,9	3,7	2,0	3,1
	2,011	1,873	1,683	1,983	1,552	1,846	1,710	1,928	1,475	1,764
	-4,8	-4,1	-5,3	-4,2	-4,9	-3,9	-5,6	-4,5	-3,6	-5,1
	1,108	0,940	1,283	0,954	1,140	0,898	1,411	1,024	0,854	1,208
	6,5	7,7	8,2	6,2	7,4	8,5	6,8	7,9	6,0	7,1
	2,698	3,004	3,123	2,618	2,930	3,192	2,776	3,052	2,564	2,854
	-6,6	-2,3	1,2	1,8	4,2	4,5	5,1	5,4	5,6	5,8

Розділ 2. Чисельне диференціювання функцій за допомогою інтерполяції кубічним сплайном

Один з основних підходів чисельного диференціювання полягає в тому, що формули для апроксимації похідних різного порядку точності отримують у результаті диференціювання різних інтерполяційних многочленів.

Дійсно, нехай відомі значення певної функції в точкахі треба обчислити. Для цього побудуємо функцію, що інтерполює, і наближено припустимо. Якщо для функціївідома похибка(чи її оцінка), то похибкапохідної може бути виражена формулою.

Сплайном порядкуназивають функцію, що є многочленом ступеняокремо на кожному із відрізків , на які розбитий вихідний відрізок, тобтопри, і яка, крім того, задовольняє умовам неперервності похідних до порядкув точках:

при

Кубічний сплайн , що задовольняє умові інтерполяції, тобто співпадає з функцієюв точках, можна записати у вигляді

, (1)

, .

За умови, що (один із варіантів задання крайових умов), коефіцієнтивизначаються із системи рівнянь

, (2)

.

Тут .

За знайденими числами коефіцієнтиівизначаються за формулами

, , (3)

.

Для нашого прикладу тобто сітка рівномірна, що трохи спрощує обчислення. Система рівняння (2) набуває вигляду (за умови)

, ,

У розгорнутому вигляді маємо:

Підставляючи в систему вхідні дані та враховуючи, що перетворимо її до вигляду:

Розв’язуючи останню систему, знаходимо:

; .

Далі за формулами (3) одержуємо:

; ;;

; ;;

; ;.

Таким чином, шуканий сплайн має вигляд

Тоді .