Приклади розв’язування задач
Знайдіть ранг матриць: а)
;
б)
;
в)
.
Розв’язання:
а)
Зведемо матрицю
до ступінчастого вигляду шляхом
елементарних перетворень її рядків:
.
Тому
.
б)
.
Отже,
.
в)
.
Тоді
.
Дослідіть на сумісність та знайдіть загальний розв’язок системи:
Розв’язання:
Запишемо розширену матрицю системи та приведемо її шляхом елементарних перетворень над рядками до ступінчастого виду:
.
Як
бачимо,
,
тобто за теоремою Кронекера-Капеллі
система сумісна. Кількість залежних
змінних дорівнює
,
а незалежних
.
Тут
– кількість змінних у системі. Система
не визначена, так як
.
Вихідну систему рівнянь представимо у вигляді:
Таким чином, отримаємо загальний розв’язок даної системи:
Тут
– довільні числа.
Розв’яжіть СЛАР методом Гауса:
Розв’язання:
Для розв’язання СЛАР методом Гауса запишемо її розширену матрицю. Представимо читачу можливість самостійно привести її до ступінчатого виду, застосувавши елементарні перетворення над рядками. Запишемо лише результат:
.
Тоді
,
,
тобто система визначена. Отже,
.
Дослідіть систему на сумісність. У випадку сумісності – розв’яжіть:
Розв’язання:
.
Ранг матриці системи дорівнює двом, а розширеної – трьом. За теоремою Кронекера-Капеллі система несумісна.
Задачі для самостійного розв’язування
Знайдіть ранги наступних матриць за допомогою методів обведення мінорів та елементарних перетворень рядків:
а)
;
б)
;
в)
.
Знайдіть ранги матриць для всіх значень параметра
:
а)
;
б)
;
в)
.
Знайдіть загальний розв’язок та один частинний розв’язок СЛАР методом Гауса:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
Дослідіть СЛАР на сумісність та знайдіть їх загальний розв’язок в залежності від параметра
:
а)
б)
в)
г)
д)
ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 6
Тема: Розв’язання однорідних СЛАР.
Фундаментальна система розв’язків
Однорідною
називається
СЛАР, стовпець вільних членів якої
нульовий. Фундаментальною
системою розв’язків однорідної системи
називається сукупність будь-яких
частинних, лінійно незалежних розв’язків
однорідної системи (частинний розв’язок
може бути записаний у вигляді стовпця),
де
– число невідомих у системі, а
– матриця системи.
Приклади розв’язування задач
Знайдіть фундаментальну систему розв’язків однорідної системи рівнянь:
Розв’язання:
Приведемо матрицю системи до ступінчастого виду методом елементарних перетворень над рядками:
.
Бачимо,
що
,
.
Отже вільних невідомих
.Продовжимо
перетворення та отримаємо нулі у правому
верхньому кутку матриці:
.
Виразимо залежні змінні через незалежні. Для цього за знайденою матрицею запишемо систему рівнянь:
звідси
Будемо
надавати змінним
таких значень, щоб пари
були рядками одиничної матриці другого
порядку (за кількістю незалежних
змінних).
-
1
2
0
0
0
0
–1
–1
0
1
Таким
чином, фундаментальну систему розв’язків
складають
Завдання для самостійного розв’язування
Запишіть матрицю системи лінійних однорідних рівнянь. Знайдіть загальний розв’язок та фундаментальну систему її розв’язків:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
д)
е)
ж)
з)
і)
к)
л)