Матричний спосіб розв’язання слар

Систему лінійних алгебраїчних рівнянь ізn невідомими (*) можна записати в матричному виді: , деA – матриця системи, X – матриця-стовпець невідомих , аB – матриця-стовпець вільних членів. Якщо A – невироджена матриця, то після множення ліворуч на обидві частини матричного рівняння, одержимо. Taк як, то очевидно

.

Приклади розв’язування задач

1. Розв’яжіть систему лінійних алгебраїчних рівнянь: а) за теоремою Крамера; б) матричним способом:

Розв’язання:

а) Обчислимо визначник системи й визначники,,, що отримані з визначниказаміною першого, другого, третього стовпців стовпцем вільних членів:

, ,

, .

За формулами Крамера одержуємо єдиний розв’язок системи:

, ,.

Відповідь: .

б) Перепишемо вихідну систему у вигляді

,

де ,,.

Оскільки , то матрицямає обернену. Знайдемо її методом алгебраїчних доповнень:

, ,,

, ,,

, ,,

.

Знайдемо розв’язок:

.

Відповідь: .

2. Розв’яжіть СЛАР: а) за правилом Крамера; б) шляхом зведення її до матричного рівняння. Порівняйте отримані результати.

Розв’язання:

а) Знайдемо визначник матриці системи:

.

За теоремою Крамера дана СЛАР має єдиний розв’язок. Знайдемо значення визначників матриць, отриманих з вихідної заміною-ого стовпця стовпцем вільних членів. Отримаємо:

, ,

, .

Значення змінних знайдемо зі співвідношень:

, ,,.

б) Запишемо вихідну систему у матричному вигляді:

.

На стор. 26-28 знайдено обернену матрицю:

.

Тоді:

.

Отже, . Як бачимо, розв’язки СЛАР, що знайдені різними методами, співпадають між собою.

Підстановкою отриманих значень у вихідну систему легко переконатись, що набір дійсно є її розв’язком.

Задачі для самостійного розв’язування

1. Розв’яжіть наступні СЛАР за теоремою Крамера:

а)б)в)

2. Якщо система визначена, то знайдіть її розв’язок: а) за теоремою Крамера; б) матричним методом:

1) 2)3)

4) 5)6)

7) 8)9)

10) 11)12)

Практичне заняття № 5 Тема: Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі. Метод Гауса розв’язання слар

Елементарними перетвореннями рядів матриці називають: 1) переміна місцями двох рядків матриці; 2) додавання до елементів одного рядка відповідних їм елементів іншого, помножених на ненульове число.

Теорема. Якщо від матриці до матриціможна перейти скінченим числом елементарних перетворень рядків, то всякий розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь, що відповідає матриці, служить розв’язком системи з матрицеюі навпаки, тобто розглянуті системи рівнянь еквівалентні.

Матриця називається ступінчастою, якщо в ній під кожним першим ненульовим елементом рядка стоять тільки нулі.

Рангом матриці називається числоненульових рядків в матриці ступінчастого виду.

Теорема (теорема Кронекера-Капеллі) Система лінійних алгебраїчних рівнянь сумісна тоді й тільки тоді, коли ранг матриці системи дорівнює рангу розширеної матриці цієї системи, тобто .

Зауваження. 1) Якщо ранг матриці сумісної СЛАР дорівнює числу невідомих, то система має єдиний розв’язок, тобто є визначеною. 2) Якщо ранг матриці сумісної СЛАР менше числа невідомих, то система має нескінченну множину розв’язків, тобто є невизначеною.

Алгоритм розв’язку системи рівнянь (*) методом Гауса:

1. Запишемо розширену матрицю вихідної системи рівнянь.

2. Приведемо матрицю до ступінчастого виду за допомогою елементарних перетворень рядків. Якщо в отриманій ступінчастій матриціє рядок, у якому перший ненульовий елемент перебуває на останньому місці, то вихідна система розв’язків не має (несумісна).

3. Якщо система рівнянь сумісна, то в системі рівнянь із матрицею необхідно відкинути рівняння, які відповідають нульовим рядкам матриці. У рівняннях, що залишилися, виділяємо головні невідомі (визначник, складений з коефіцієнтів при них, не дорівнює нулю), а члени з вільними невідомими переносимо в праві частини.

4. Послідовно виражаємо головні невідомі через вільні, рухаючись від останнього рівняння до першого, отримаємо загальний розв’язок системи.

5. Надаючи вільним невідомим різні числові значення й обчислюючи відповідні значення головних невідомих, одержимо різні розв’язки вихідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тобто отримаємо частинні розв’язки системи.

Приклад. Розв’яжіть системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

1) 2)3)

Відповідь: 1) ,; 2); 3).